Analise

  1. Os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente;
  2. Os valores máximo e mínimo locais de f ;
  3. Os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;

c )   f x = x x 2 + 1

Passo 1

Oi, tudo bem?

O problema nos deu essa função aqui

f x = x x 2 + 1

E pediu para calcularmos intervalos de crescimento/decrescimento, valores de máx/mín, intervalos de concavidade e pontos de inflexão. Vamos relembrar como se acha cada uma dessas coisas?

  • Intervalos de crescimento/decrescimento: intervalos onde a derivada é positiva/negativa. Então a ideia aqui é achar a derivada e fazer o estudo do sinal dela;
  • Máx/mín locais: são pontos onde a derivada troca de sinal (mais pra menos = máximo; menos pra mais = mínimo);
  • Intervalos de concavidade e inflexão: é o estudo da segunda derivada. Concavidade positiva/negativa = segunda derivada positiva/negativa. E os pontos de inflexão é onde ela é zero. Então a ideia aqui é derivar de novo, igualar a zero e estudar o sinal da função
  • Beleza?

    Bora começar?

    Vou fazer passo a passo com você!

    Passo 2

    Agora vamos começar derivando a função

    f x = x x 2 + 1

    f ' x = 1 x 2 + 1 - 2 x . x x 2 + 1 2 = - x 2 + 1 x 2 + 1 2

    Igualando a zero achamos dois pontos

    - x 2 + 1 x 2 + 1 2 = 0

    x = ± 1

    Agora vamos fazer o estudo do sinal da derivada em torno desses pontos

    Tudo bem até aqui? Agora vamos as conclusões:

  • Crescimento: - 1 ; 1
  • Decrescimento: - ∞ ; - 1 U 1 ; + ∞
  • Ponto de máximo local: x = + 1
  • Ponto de mínimo local: x = - 1
  • Beleza?

    Passo 3

    Agora vamos para o estudo da segunda derivada:

    f ' x = - x 2 + 1 x 2 + 1 2

    f ' ' x = - 2 x x 2 + 1 2 - 2 x 2 + 1 . 2 x . ( - x 2 + 1 ) x 2 + 1 4

    E igualando a zero

    - 2 x x 2 + 1 2 - 2 x 2 + 1 . 2 x . - x 2 + 1 = 0

    Simplificando temos

    - x 2 + 1 = 2 . ( - x 2 + 1 )

    - 2 x 2 + 2 + x 2 + 1 = 0

    - x 2 + 3 = 0

    x = ± 3

    E não esquecer do x = 0 , quando dividimos por x , estamos deixando de lado essa raiz e não podemos!

    E o sinal em torno desses pontos:

    Nossas conclusões:

  • Concavidade positiva: ( - ∞ ; 0 ]
  • Concavidade negativa: 0 ; + ∞
  • Ponto de inflexão: x = 0
  • Beleza? Espero ter ajudado!

    Resposta

  • Crescimento: - 1 ; 1
  • Decrescimento: - ∞ ; - 1 U 1 ; + ∞
  • Ponto de máximo local: x = + 1
  • Ponto de mínimo local: x = - 1
  • Concavidade positiva: ( - ∞ ; 0 ]
  • Concavidade negativa: 0 ; + ∞
  • Ponto de inflexão: x = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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