Analise

  1. Os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente;
  2. Os valores máximo e mínimo locais de f ;
  3. Os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;

Use as informações obtidas nos itens 1)-3) para esboçar o gráfico de f

c )   f x = 2 + 2 x 2 - x 4

Passo 1

Oi, tudo bem?

O problema nos deu essa função aqui

f x = 2 + 2 x 2 - x 4

E pediu para calcularmos intervalos de crescimento/decrescimento, valores de máx/mín, intervalos de concavidade e pontos de inflexão. Vamos relembrar como se acha cada uma dessas coisas?

  • Intervalos de crescimento/decrescimento: intervalos onde a derivada é positiva/negativa. Então a ideia aqui é achar a derivada e fazer o estudo do sinal dela;
  • Máx/mín locais: são pontos onde a derivada troca de sinal (mais pra menos = máximo; menos pra mais = mínimo);
  • Intervalos de concavidade e inflexão: é o estudo da segunda derivada. Concavidade positiva/negativa = segunda derivada positiva/negativa. E os pontos de inflexão é onde ela é zero. Então a ideia aqui é derivar de novo, igualar a zero e estudar o sinal da função
  • Beleza? No fim, vamos reunir todas essas informações e fazer um gráfico da nossa função!

    Bora começar?

    Vou fazer passo a passo com você!

    Passo 2

    Agora vamos começar derivando a função

    f x = 2 + 2 x 2 - x 4

    f ' x = 4 x - 4 x 3

    Igualando a zero achamos os pontos críticos

    4 x ( 1 - x 2 ) = 0

    x = 0 , - 1   e   1

    Agora vamos fazer o estudo do sinal da derivada em torno desses pontos

    Tudo bem até aqui? Agora vamos as conclusões:

  • Crescimento: - ∞ ; - 1 U [ 0 ; 1 ]
  • Decrescimento: - 1 ; 0 U 1 ; + ∞
  • Ponto de máximo local: x = - 1 e x = 1
  • Ponto de mínimo local: x = 0
  • Beleza?

    Passo 3

    Agora vamos para o estudo da segunda derivada:

    f ' x = 4 x - 4 x 3

    f ' ' x = 4 - 12 x 2

    x 2 = 1 3 → x = ± 3 3

    E o sinal em torno desse ponto

    Nossas conclusões:

  • Concavidade positiva: - 3 3 , 3 3
  • Concavidade negativa: - ∞ ; - 3 3 U 3 3 , + ∞
  • Ponto de inflexão: x = ± 3 3
  • tranquilo?

    Passo 4

    Agora vamos fazer um gráfico com todas as informações sobre a função:

  • Crescimento: - ∞ ; - 1 U [ 0 ; 1 ]
  • Decrescimento: - 1 ; 0 U 1 ; + ∞
  • Ponto de máximo local: x = - 1 e x = 1
  • Ponto de mínimo local: x = 0
  • Concavidade positiva: - 3 3 , 3 3
  • Concavidade negativa: - ∞ ; - 3 3 U 3 3 , + ∞
  • Ponto de inflexão: x = ± 3 3

Temos esse gráfico aqui:

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da função f x = 5 x 2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da função f x = x 3 + x 2 - x