Após o consumo de uma bebida alcoólica, a concentração de álcool no sangue (CAS) aumenta rapidamente à medida que o álcool é absorvido, seguida por uma diminuição gradual conforme o álcool é metabolizado pelo fígado. A função

C t = 0,135 t e - 2,802 t

modela a CAS média, medida em mg/mL, de um grupo de oito indivíduos do sexo masculino t horas depois do consumo rápido de 15   m L de etanol (correspondendo a uma dose de bebida alcoólica). Qual é a CAS média máxima durantes as primeiras 3 horas? Quando ela ocorre?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado conta toda essa historinha pra nos pedir o valor máximo da nossa função C ( t ) . Pra isso, vamos usar o método do intervalo fechado.

Esse método nos diz que para encontrar valores máximos e mínimos absolutos de uma função contínua f em um intervalo fechado [ a ,   b ] nós precisamos:

1. Encontrar os valores de f nos números críticos de f em ( a ,   b ) .

2. Encontrar os valores de f nas extremidades do intervalo.

3. O maior valor entre as etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

C t = 0,135 t e - 2,802 t

Derivando ela em relação a t , usando a regra do produto, vamos obter:

C ' t = 0 , 135 ( e - 2,802 t - 2,802 t e - 2,802 t )

Igualando esse resultado a zero, temos:

0,135 e - 2,802 t - 2,802 t e - 2,802 t = 0

E isolando t :

t = 500 1401 ≅ 0,36

Então, temos o ponto crítico t = 0,36   h . Substituindo esse valor na função, temos:

C 0,36 = 0,135 ∙ 0,36 ∙ e - 2,802 ∙ ( 0,36 ) = 0,0177

Mas, nós queremos saber a CAS média máxima durantes as primeiras 3 horas, ou seja, no intervalo [ 0 ,   3 ] . Então, vamos calcular o valor da função nos extremos desse intervalo.

Para t = 0 , temos:

C 0 = 0,135 ∙ 0 ∙ e - 2,802 ∙ ( 0 ) = 0

E para t = 3 , temos:

C 3 = 0,135 ∙ 3 ∙ e - 2,802 ∙ 3 = 0,000009

Comparando esses resultados, vemos que o valor máximo absoluto da função no intervalo ocorre em C 0,36 = 0,0177 . Logo, a CAS média máxima ocorre a 0,0177   m g / m L e em 0,36   h .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

C 0,36 = 0,0177   m g / m L

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