Assinale somente as alternativas com afirmações corretas.

(Haverá desconto na nota desta questão caso alternativas incorretas sejam assinaladas.)

Escolha uma ou mais:

a) Se f é uma função qualquer tal que f a f b < 0 , então existe c ∈   ] a , b [ tal que f c = 0 .

b) Se f e g são função deriváveis definidas em R e se f x ≤ g ( x ) em ] 0 ,   ∞ [ , então f ' x ≤ g ' x em ] 0 , ∞ [ .

c) Se f é uma função que admite derivada até segunda ordem em toda a reta, tal que f ' x > 0 e f ' ' x > 0 , então lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞

d) Se p ( x ) e q ( x ) são polinômios, tais que grau( q ) ≥ 1 , então f x = p ( x ) q ( x ) possui assíntotas vertical, ou seja, existe p ∈ R tal que lim x → p + ⁡ f x = ± ∞ ou lim x → p - ⁡ f ( x ) = ± ∞ .

e) Se f : R → R é uma função derivável até segunda ordem tal que f ' ' x = 0 tem duas soluções reais distintas, então f tem algum ponto de extremo (máxima ou mínimo) local.

f) Se f é uma função tal que x l n x < f x < 0 , para todo 0 < x < 1 ,   então lim x → 0 + ⁡ f x s e n 1 f x = 0 .

Passo 1

Letra a) Verdadeira

O teorema do valor intermediário é: “Suponha que f seja contínua em um intervalo fechado [ a , b ] e seja N um número qualquer entre f ( a ) e f ( b ) , em que f a ≠ f b . Então existe um número c entre ( a , b ) tal que f c = N .”

Como temo f a . f b < 0 , uma das duas deve ser negativa enquanto que a outra é positiva. Portanto pelo TVI, sabemos que deve existir uma f c = 0 .

Passo 2

Letra b) Falsa

Para provar que uma sentença é falsa, podemos encontrar um caso em que seja falso.

Usando as função f x = x 2 e g x = x , suas derivadas vão ser: f ' x = 2 x e g ' x = 1 .

Para x = 1 vamos ter que f 1 = g 1 = 1 , o que garante que nossa premissa seja verdadeira: f x ≤ g x .

Porém para as derivadas temos f ' x = 2 e g ' x = 1 , o que é uma conclusão falsa.

Portanto nossa sentença é falsa.

Passo 3

Letra c) Verdadeira

Como temos que a primeira derivada é positiva, sabemos que nossa função vai ser estritamente crescente e como temos que a segunda derivada é positiva, a função vai ter concavidade para cima. Com isso podemos dizer que ela sempre vai crescer no sentido de + ∞ , então:

lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞

Passo 4

Letra d) Falsa

Para provar que uma sentença é falsa, podemos encontrar um caso em que seja falso então nossa sentença vai ser falsa.

Usando as função p x = x 2 e q x = x .

Podemos ver que grau( q ) ≥ 1 e assim vamos ter f x = x que não possui assíntota vertical nem horizontal.

Passo 5

Letra e) Falsa

Pra essa vou trazer um desenho maneiro que fiz no paint mesmo e quero que você aprecie comigo haha

Observa como nessa dunção que desenhei temos duas mudanças de concavidade. Começamos virados para baixo, depois pra cima e depois ali no finalzinho pra baizo novamente. Em nenhum momento passamos necessariamente por um ponto de máximo e mínimo, mesmo tenhdo nossa segunda derivada com duas soluções.

Passo 6

Letra f) Verdadeira

Analisando lim x → 0 + ⁡ f x s e n 1 f x = 0 .

Como temos que s e n 1 f x sempre será limitado por - 1 e 1 qualquer que seja o f ( x ) se mostrarmos que lim x → 0 + ⁡ f x = 0 , demonstraremos que a primeira igualdade é verdadeira.

Olhando agora para a desigualdade x l n x < f x < 0 vamos aplicar o limite para os três termos.

l i m x → 0 + x l n x < l i m x → 0 + f x < l i m x → 0 + 0

O lado direito sabemos que da 0 , falta agora vermos o lado esquerdo.

Não podemos aplicar L’Hôpital diretamente pois não temos uma indeterminação do tipo 0 0   ou ∞ ∞ .

Fazendo:

l i m x → 0 + x l n x = l i m x → 0 + l n x x - 1    

Agora sim temos uma indeterminação em que podemos aplicar L’Hôpital.

Vamos ter então:

l i m x → 0 + x l n x = l i m x → 0 + ( l n x ) ' ( x - 1 ) =

= l i m x → 0 + 1 x - 1 x 2 =

= l i m x → 0 + - x 2 x =

= l i m x → 0 + - x = 0

Portanto pelo teorema do confronto temos que f x = 0 . Podemos afirmar então que:

lim x → 0 + ⁡ f x s e n 1 f x = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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