Um barco deixa as docas às 14h e viaja para o sul com velocidade de 20km/h. Outro barco

estava rumando para o leste a 15km/h e alcança a mesma doca às 15h. Em que momento os

dois botes estavam mais próximos um do outro?

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão nos descreve nos descreve uma situação em que um barco se aproxima e o outro se afasta das docas. Como o barco vindo do leste com velocidade 15km/h atinge as docas às 15h, isso significa que, às 14h, esse barco se encontrava à 15km à oeste das docas. A figura abaixo ilustra a situação, com o barco em verde se aproximando das docas pelo oeste e o barco vermelho se afasta para o sul.

Com isso, considerando a doca como origem, podemos escrever que, a partir das 14h, a função que determina a trajetória do barco verde é

x ( t )   =   15 - 15 t ,   0 ≤ t ≤ 1 h

Às 14h, o barco em vermelho se afasta para o sul, com velocidade de 20km/h. Assim, podemos escrever uma função para a sua trajetória

y ( t )   =   20 t ,   0 ≤ t ≤ 1 h  

Assim, podemos também encontrar uma função para a distância d(t) entre os barcos através do teorema de Pitágoras

d ( t )   =   x ( t ) 2 + y ( t ) 2 =   ( 15 - 15 t ) 2 + 400 t 2

d ( t )   =   225 + 625 t 2 - 225 t  

Então, para descobrir em que momento a distância entre os barcos é a menor, precisamos encontrar o ponto de extremo dessa função. E como a gente faz isso? Bem, a gente sabe que em um ponto de extremo, a derivada de uma função é nula! Então, a gente precisa derivar a função distância para determinar em que instante de tempo ela ocorre! Então vamos lá derivar!

Passo 2

Se definirmos as funções f ( u ) = u e u ( t )   =   625 t 2 - 225 t + 225 , podemos escrever a função distância como d ( t )   =   f ( u ( t ) ) . Então, para derivar a distância podemos usar a regra da cadeia:

d ' ( t )   =   d d t d ( t )   =   d d u f ( u ) × d d t u ( t )   = 1 2 ( 625 t 2 - 225 t + 225 ) - 1 2 × ( 1250 t - 225 )  

Então,

d ' ( t )   =   1 2 ( 1250 t - 225 ) 625 t 2 - 225 t + 225

Para que isso seja nulo, precisamos que o denominador se anule. Então, queremos que ( 1250 t - 225 ) = 0 , o que ocorre quando t = 0.18s. Então, a menor distância entre os barcos ocorre quando se passaram 0,18 × 60 m i n   =   10,8   m i n desde que o barco vermelho deixa as docas, às 14h10min48s. A distância mínima é fácil de ser calculada, basta substituir 0,18 na expressão para a distância. Fazendo isso, encontramos que a distância mínima é de aproximadamente 14.3 km.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Instante de menor distância: 14h10min48s

Distância mínima 14.3 km

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