3. Para cada função abaixo determine: pontos críticos, extremos relativos (isto é, máximos e mínimos locais), intervalos de crescimento e de decrescimento.

b) f x = 3 4 x 2 - 1 1 / 2

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos que obter os pontos críticos, extremos relativos e intervalos de crescimento e decrescimento da função

f x = 3 4 x 2 - 1 1 / 2

Lembra como fazemos isso? 😎

Para obter os pontos críticos, derivamos a função e igualamos a 0 .

Para obter os extremos relativos, substituímos os pontos críticos na matriz hessiana de f .

E para obter os intervalos de crescimento e decrescimento fazemos a análise da derivada de f e definimos em qual intervalo a f ' é positiva e em qual intervalo é negativa.

Entendeu? Bora começar! 😉

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de f

f ' = d 3 4 x 2 - 1 1 2 d x = 3 4 d x 2 - 1 1 2 d x

Pela regra da cadeia, temos que

d x 2 - 1 1 2 d x = d x 2 - 1 d x · d u 1 2 d u

Pelo método de derivação polinomial, temos

d x 2 - 1 d x = 2 x

d u 1 2 d u = 1 2 u

Substituindo os resultados em f ' e voltando u para x 2 - 1

f ' = 3 4 2 x 1 2 x 2 - 1

f ' = 3 4 x x 2 - 1

Igualando a 0 , temos

3 4 x x 2 - 1 = 0

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Perceba que não existe raiz de números negativos no conjunto dos reais, portanto x > 1 ( x deve ser maior que 1 ).

Logo, não existe pontos críticos nessa função.

Por tabela, também não existe máximos e nem mínimos locais...

Por fim, quando f ' for negativo, a função é decrescente e quando f ' for positivo, a função é crescente.

Olhando para o denominador 4 x 2 - 1 vemos que independente do domínio, o resultado sempre será um número positivo.

Já o numerador 3 x dependera apenas do sinal de x , ou seja

f ' = c r e s c e n t e   s e   x > 1

f ' = d e c r e s c e n t e   s e   x < - 1

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

Não existe pontos críticos.

f ' = c r e s c e n t e   s e   x > 1

f ' = d e c r e s c e n t e   s e   x < - 1

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)