Para cada função abaixo determine: pontos críticos, extremos relativos (isto é, máximos e mínimos locais), intervalos de crescimento e de decrescimento.

( a )   f ( x ) = x 4 4 - 2 x 3 + 4

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

Precisamos analisar a função

f ( x ) = x 4 4 - 2 x 3 + 4

e encontrar os seus pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento. Todas estas coisas estão relacionadas ao sinal da primeira e segunda derivadas! Então vamos começar a achar elas! Belezinha?

Passo 2

Primeiro, os pontos de equilíbrio podem ser encontrados, uma vez que eles estão relacionados a seguinte expressão

d d x [ f ( x 0 ) ] = 0

ou seja, precisamos achar para quais x 0 isso é verdade! A nossa função é um polinômio, então, usando a regra do tombo

d d x [ x n ] = n x n - 1

temos que

d d x [ f ( x ) ] = 1 4 d d x [ x 4 ] - 2 d d x [ x 3 ] + d d x [ 4 ] = 1 4 ( 4 ) x 4 - 1 - 2 ( 3 ) x 3 - 1 + 0

ou, simplesmente

d d x [ f ( x ) ] = x 3 - 6 x 2

Vamos usar isso para achar os pontos de equilíbrio!

Passo 3

Precisamos de x 0 para que

d d x [ f ( x 0 ) ] = x 0 3 - 6 x 0 2 = 0

Se evidenciarmos um x 0 2 , temos que

x 0 2 [ x 0 - 6 ] = 0

Então temos dois valores possíveis para anular a derivada x 0 = 6 e x 0 = 0 com multiplicidade 2 . Agora, vamos usar esses pontos críticos para achar os nossos extremos!

Passo 4

Os pontos críticos indicam onde a derivada é nula (uma reta tangente horizontal), portanto, esses pontos estão relacionados a máximo, mínimos ou pontos de inflexão, eles definidos pela segunda derivada, temos que

d 2 d x 2 [ f ( x 0 ) ] < 0 → Ponto de Máximo local

d 2 d x 2 [ f ( x 0 ) ] > 0 → Ponto de Mínimo local

d 2 d x 2 [ f ( x 0 ) ] = 0 → Ponto de Inflexão!

Então, vamos calcular a segunda derivada! Usando a regra do tombo temos que

d d x [ d d x [ f ( x ) ] ] = d d x [ x 3 - x 2 ] = 3 x 3 - 1 - 2 x 2 - 1

obtemos então que

d 2 d x 2 [ f ( x ) ] = 3 x 2 - 2 x = x ( 3 x - 2 )

Em x 0 = 0 , temos que

d 2 d x 2 [ f ( 0 ) ] = 0

portanto, na coordenada x 0 = 0 , temos um ponto de inflexão! E, em x 0 = 6 , temos que

d 2 d x 2 [ f ( 6 ) ] = 6 ( 3 ( 6 ) - 2 ) = 96

como 96 > 0 , temos que este é um ponto de mínimo local! Falta só analisar os intervalos de crescimento! Vem comigo!

Passo 5

Primeiro, vamos ver o valor da função nos pontos críticos, temos que

f ( 0 ) = 0 4 4 - 2 ( 0 ) 3 + 4 = 4

e, também

f ( 6 ) = 6 4 4 - 2 ( 6 ) 3 + 4 = - 104

Como não há nenhum ponto crítico entre x 0 = 0 e x 0 = 6 , podemos avaliar um ponto entre ambos e verificar o sinal da derivada, temos que para x = 1 , que

d d x [ f ( 1 ) ] = 1 3 - 6 ( 1 ) 2 = - 5

Portanto, como - 5 < 0 , temos que a função é decrescente entre x = 0 e x = 6 . Também não há nenhum ponto crítico para valores x < 0 , portanto, escolhendo um valor qualquer x = - 1 < 0 , temos que

d d x [ f ( - 1 ) ] = ( - 1 ) 3 - 6 ( ( - 1 ) ) 2 = - 7

como - 7 < 0 , a função é decrescente no intervalo - ∞ < x < 0 . Falta apenas testar para x > 6 , usando que x = 7 , temos que

d d x [ f ( 7 ) ] = ( 7 ) 3 - 6 ( 7 ) 2 = 49

como 49 > 0 , temos que a função é crescente no intervalo 6 < x < + ∞ . Maravilha! Creio que isso é tudo! Até a próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
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Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)