Em cada item a seguir, determine os valores máximo e mínimo globais da função dada no intervalo dado.

(a) f x = 12 + 4 x - x 2 , [ 0 ,   5 ]

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar os valores máximo e mínimo globais da função no intervalo dado. Pra isso, vamos usar o método do intervalo fechado.

Esse método nos diz que para encontrar valores máximos e mínimos absolutos de uma função contínua f em um intervalo fechado [ a ,   b ] nós precisamos:

1. Encontrar os valores de f nos números críticos de f em ( a ,   b ) .

2. Encontrar os valores de f nas extremidades do intervalo.

3. O maior valor entre as etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = 12 + 4 x - x 2

Pra encontrar os valores de f nos números críticos do intervalo [ 0 ,   5 ] , precisamos encontrar esses números críticos. Uma vez que f ' ( x ) existe para todo x , os únicos números críticos de f ocorrem quando f ' x = 0 .

Assim, derivando, temos:

f ' x = 4 - 2 x

Igualando esse resultado a zero, vamos ter:

f ' x = 0

4 - 2 x = 0 → x = 2

Então, x = 2 é nosso ponto crítico no intervalo. Substituindo esse valor na função, temos:

f 2 = 12 + 4 2 - 2 2 = 16

Passo 3

Agora vamos calcular os valores de f nas extremidades do intervalo. Assim, para x = 0 , vamos ter:

f 0 = 12 + 4 0 - 0 2 = 12

E para x = 5 , temos:

f 5 = 12 + 4 5 - 5 2 = 7

Comparando esses três números, vemos que o valor máximo absoluto é f 2 = 16 e o valor mínimo absoluto é f 5 = 7 .

Observe que nesse caso, o valor máximo absoluto ocorre em um número crítico, enquanto o valor mínimo absoluto acontece em um extremo do intervalo.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

M á x i m o   a b s o l u t o → ( 2 ,   16 )

M í n i m o   a b s o l u t o → ( 5 ,   7 )

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