Em cada item a seguir, determine os valores máximo e mínimo globais da função dada no intervalo dado.

(b) f x = x 2 - 4 3 , [ - 2 ,   3 ]

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar os valores máximo e mínimo globais da função no intervalo dado. Pra isso, vamos usar o método do intervalo fechado.

Esse método nos diz que para encontrar valores máximos e mínimos absolutos de uma função contínua f em um intervalo fechado [ a ,   b ] nós precisamos:

1. Encontrar os valores de f nos números críticos de f em ( a ,   b ) .

2. Encontrar os valores de f nas extremidades do intervalo.

3. O maior valor entre as etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = x 2 - 4 3

Pra encontrar os valores de f nos números críticos do intervalo [ - 2 ,   3 ] , precisamos encontrar esses números críticos. Uma vez que f ' ( x ) existe para todo x , os únicos números críticos de f ocorrem quando f ' x = 0 .

Assim, derivando usando a regra da cadeia, temos:

f ' x = 6 x x 2 - 4 2

Igualando esse resultado a zero, vamos ter:

f ' x = 0

6 x x 2 - 4 2 = 0

Pra que esse produto seja verdade, teremos:

6 x = 0 → x = 0

Ou

x 2 - 4 2 = 0 → x 2 = 4 → x = ± 2

Então, em [ - 2 ,   3 ] , vamos ter x = 0 , x = - 2 e x = 2 como pontos críticos no intervalo. Substituindo esses valores na função, temos:

f 0 = 0 2 - 4 3 = - 64

f - 2 = ( - 2 ) 2 - 4 3 = 0

f 2 = 2 2 - 4 3 = 0

Passo 3

Agora vamos calcular os valores de f nas extremidades do intervalo. A gente já encontrou f - 2 = 0 , agora vamos calcular f ( 3 ) :

f 3 = 3 2 - 4 3 = 125

Comparando esses resultados, vemos que o valor máximo absoluto no intervalo é f 3 = 125 e o valor mínimo absoluto é f 0 = - 64 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

M á x i m o   a b s o l u t o → ( 3 ,   1 25 )

M í n i m o   a b s o l u t o → ( 0 ,   - 64 )

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