Em cada item a seguir, determine os valores máximo e mínimo globais da função dada no intervalo dado.

(c) f x = x + 1 x , 2 10 ,   4

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar os valores máximo e mínimo globais da função no intervalo dado. Pra isso, vamos usar o método do intervalo fechado.

Esse método nos diz que para encontrar valores máximos e mínimos absolutos de uma função contínua f em um intervalo fechado [ a ,   b ] nós precisamos:

1. Encontrar os valores de f nos números críticos de f em ( a ,   b ) .

2. Encontrar os valores de f nas extremidades do intervalo.

3. O maior valor entre as etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = x + 1 x

Pra encontrar os valores de f nos números críticos do intervalo 2 10 ,   4 , precisamos encontrar esses números críticos. Como nossa função não pode assumir o valor x = 0 , temos essa como nosso primeiro valor crítico.

Agora derivando, para encontrar os outros valores críticos, temos:

f ' x = 1 - 1 x 2

Igualando esse resultado a zero, vamos ter:

f ' x = 0

1 - 1 x 2 = 0

Isolando x :

1 = 1 x 2 → x 2 = 1 → x = ± 1

Mas em 2 10 ,   4 , vamos ter apenas x = - 1 e x = 1 como pontos críticos no intervalo. Substituindo esses valores na função, temos:

f 1 = 1 + 1 1 = 2

f - 1 = - 1 + 1 - 1 = - 2

Passo 3

Agora vamos calcular os valores de f nas extremidades do intervalo. Assim, para x = 2 10 vamos ter:

f 2 10 = 2 10 + 1 2 10 = 26 5

E para x = 4 , temos:

f 4 = 4 + 1 4 = 17 4

Comparando esses resultados, vemos que o valor máximo absoluto no intervalo é f 2 10 = 26 5 e o valor mínimo absoluto é f - 1 = - 2 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

M á x i m o   a b s o l u t o → 2 10 , 26 5

M í n i m o   a b s o l u t o → ( - 1 ,   - 2 )

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da função f x = 5 x 2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da função f x = x 3 + x 2 - x