Em cada item a seguir, determine os valores máximo e mínimo globais da função dada no intervalo dado.

(e) g t = e t 1 + t 2 , 0 ,   3

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar os valores máximo e mínimo globais da função no intervalo dado. Pra isso, vamos usar o método do intervalo fechado.

Esse método nos diz que para encontrar valores máximos e mínimos absolutos de uma função contínua f em um intervalo fechado [ a ,   b ] nós precisamos:

1. Encontrar os valores de f nos números críticos de f em ( a ,   b ) .

2. Encontrar os valores de f nas extremidades do intervalo.

3. O maior valor entre as etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

g t = e t 1 + t 2

Pra encontrar os valores de f nos números críticos do intervalo 0 ,   3 , precisamos encontrar esses números críticos. Como nossa função não pode ter o denominador igual a zero, nós temos uma restrição para 1 + t 2 = 0 . Mas essa equação não possui soluções reais. Então, vamos ter valores críticos apenas para f ' t = 0 .

Assim, derivando usando a regra do quociente, temos:

f ' t = e x 1 + x 2 - 2 x e x 1 + x 2 2

Igualando esse resultado a zero, vamos ter:

f ' t = 0

e t 1 + t 2 - 2 t e t 1 + t 2 2 = 0 →   e t 1 + t 2 - 2 t e t = 0

Colocando e t em evidência:

e t 1 + t 2 - 2 t = 0

Como a exponencial nunca zera, temos:

1 + t 2 - 2 t = 0

t 2 - 2 t + 1 = 0

Fatorando:

t - 1 2 = 0

Isolando t :

t = 1

Então, temos apenas t = 1 como ponto crítico no intervalo. Substituindo esse valor na função, temos:

f 1 = e 1 1 + 1 2 = e 2

Passo 3

Agora vamos calcular os valores de f nas extremidades do intervalo. Assim, para t = 0 vamos ter:

f 0 = e 0 1 + 0 2 = 1

E para t = 3 , temos:

f 3 = e 3 1 + 3 2 = e 3 10

Comparando esses resultados, vemos que o valor máximo absoluto no intervalo é f 3 = e 3 10 e o valor mínimo absoluto é f 0 = 1 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

M á x i m o   a b s o l u t o → 3 , e 3 10

M í n i m o   a b s o l u t o → ( 0 ,   1 )

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