Em cada item a seguir, determine os valores máximo e mínimo globais da função dada no intervalo dado.

(g) f x = ln ⁡ ( x 2 + x + 1 ) , - 1 , 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar os valores máximo e mínimo globais da função no intervalo dado. Pra isso, vamos usar o método do intervalo fechado.

Esse método nos diz que para encontrar valores máximos e mínimos absolutos de uma função contínua f em um intervalo fechado [ a ,   b ] nós precisamos:

1. Encontrar os valores de f nos números críticos de f em ( a ,   b ) .

2. Encontrar os valores de f nas extremidades do intervalo.

3. O maior valor entre as etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = ln ⁡ ( x 2 + x + 1 )

Pra encontrar os valores de f nos números críticos do intervalo - 1,1 , precisamos encontrar esses números críticos. Como nossa função existe para todo x , os únicos números críticos de f ocorrem quando f ' x = 0 .

Assim, derivando usando a regra da cadeia, temos:

f ' x = 2 x + 1 x 2 + x + 1

Igualando esse resultado a zero:

f ' x = 0

2 x + 1 x 2 + x + 1 = 0 → 2 x + 1 = 0

Isolando x :

2 x = - 1 → x = - 1 2

Então, no intervalo - 1 , 1 , vamos ter apenas x = - 1 2 como ponto crítico. Substituindo esse valor na função, temos:

f - 1 2 = ln ⁡ - 1 2 2 + - 1 2 + 1 = ln ⁡ 1 4 - 1 2 + 1 = ln ⁡ 3 4

Passo 3

Agora vamos calcular os valores de f nas extremidades do intervalo. Assim, para x = - 1 vamos ter:

f - 1 = ln ⁡ ( - 1 2 + ( - 1 ) + 1 ) = ln ⁡ 1 = 0

E para x = 1 , temos:

f 1 = ln ⁡ ( 1 2 + 1 + 1 ) = ln ⁡ 3

Comparando esses resultados, vemos que o valor máximo absoluto no intervalo é f 1 = ln ⁡ 3 e o valor mínimo absoluto é f - 1 2 = ln ⁡ 3 4 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

M á x i m o   a b s o l u t o → 1 , ln ⁡ ( 3 )

M í n i m o   a b s o l u t o → - 1 2 , ln ⁡ 3 4

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