Em cada item a seguir, encontre os pontos críticos da função dada (caso existirem).

(b) g t = t 5 + 5 t 3 + 50 t

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar os pontos críticos da função. Mas o que são pontos críticos mesmo? São aqueles pontos onde a derivada da função f é nula ou não existe. Se chamarmos esse ponto no domínio da função de c , teremos:

f ' c = 0     o u     f ' c → ∄   ( n ã o   e x i s t e )

Essa é nossa definição e é nela que nós vamos nos basear para derivar a função, igualar o resultado da derivada a zero e encontrar os possíveis valores de c .

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

g t = t 5 + 5 t 3 + 50 t

Derivando usando a regrinha da potência ( t n ' = n t n - 1 ), temos:

g ' t = 5 t 5 - 1 + 5 ∙ 3 t 3 - 1 + 50 ( t 1 - 1 )

g ' t = 5 t 4 + 15 t 2 + 50

Igualando esse resultado a zero:

g ' t = 0

5 t 4 + 15 t 2 + 50 = 0

A gente pode tentar resolver essa equação chamando t 2 = u e t 4 = u 2 . Dessa forma, teremos:

5 u 2 + 15 u + 50 = 0

Assim, usando Bháskara, temos:

u = - 15 ± 225 - 1000 10

Repare que teríamos uma raíz quadrada negativa, o que não pode acontecer no conjunto dos números reais, nossa equação 5 t 4 + 15 t 2 + 50 = 0 tem apenas soluções complexas. Sendo assim, podemos dizer que g ( t ) não possui pontos críticos, porque g ' t = 0 não possui solução real.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

N ã o   p o s s u i   p o n t o s   c r í t i c o s

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