Em cada item a seguir, encontre os pontos críticos da função dada (caso existirem).

(c) f x = x - 1 x 2 - x + 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar os pontos críticos da função. Mas o que são pontos críticos mesmo? São aqueles pontos onde a derivada da função f é nula ou não existe. Se chamarmos esse ponto no domínio da função de c , teremos:

f ' c = 0     o u     f ' c → ∄   ( n ã o   e x i s t e )

Essa é nossa definição e é nela que nós vamos nos basear para derivar a função, igualar o resultado da derivada a zero e encontrar os possíveis valores de c .

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = x - 1 x 2 - x + 1

Derivando usando a regrinha do quociente ( g ( x ) h ( x ) ' = g ' x ∙ h x - g x ∙ h ' ( x ) h x 2 ), temos:

f ' x = x - 1 ' ∙ x 2 - x + 1 - x - 1 ∙ x 2 - x + 1 ' x 2 - x + 1 2

f ' x = x 2 - x + 1 - x - 1 ∙ 2 x - 1 x 2 - x + 1 2 = - x 2 + 2 x x 2 - x + 1 2

Igualando esse resultado a zero, vamos ter:

f ' x = 0

- x 2 + 2 x x 2 - x + 1 2 = 0

Como o denominador não pode zerar, temos:

- x 2 + 2 x = 0

Colocando x em evidência:

x - x + 2 = 0

Logo,

x = 0

Ou

- x + 2 = 0 → x = 2

Então, temos pontos críticos em x = 0 e x = 2 . Substituindo esse valores na função, descobrimos a coordenada y do ponto ( x ,   y ) :

f 0 = 0 - 1 ( 0 ) 2 - 0 + 1 = - 1 1 = - 1

f 2 = 2 - 1 ( 2 ) 2 - 2 + 1 = 1 3

Portanto, temos ( 0 ,   - 1 ) e 2 , 1 3 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

( 0 ,   - 1 ) e 2 , 1 3

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