Em cada item a seguir, encontre os pontos críticos da função dada (caso existirem).

(f) f x = x 1 3 4 - x 2 / 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar os pontos críticos da função. Mas o que são pontos críticos mesmo? São aqueles pontos onde a derivada da função f é nula ou não existe. Se chamarmos esse ponto no domínio da função de c , teremos:

f ' c = 0     o u     f ' c → ∄   ( n ã o   e x i s t e )

Essa é nossa definição e é nela que nós vamos nos basear para derivar a função, igualar o resultado da derivada a zero e encontrar os possíveis valores de c .

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = x 1 3 4 - x 2 3

Derivando usando a regra do produto ( g ( x ) ∙ h ( x ) ' = g ' ( x ) ∙ h ( x ) + g ( x ) ∙ h ' ( x ) ), temos:

f ' x = x 1 3 ' 4 - x 2 3 + x 1 3 4 - x 2 3 '

f ' x = 4 - 3 x 3 x 2 3 - x + 4 1 3

Igualando esse resultado a zero, vamos ter:

f ' x = 0

4 - 3 x 3 x 2 3 - x + 4 1 3 = 0

Como o denominador não pode zerar, temos:

4 - 3 x = 0

Isolando x :

4 = 3 x → x = 4 3

Então, temos um ponto crítico em x = 4 3 . Além disso, como temos a restrição do denominador ser zero, temos um ponto onde a derivada não existe, que também é um ponto crítico. Vamos supor:

3 x 2 3 - x + 4 1 3 = 0

Assim, temos:

- x + 4 1 3 = 0 → x = 4

Substituindo esses valores na função, descobrimos a coordenada y do ponto ( x ,   y ) :

f 4 3 = 4 3 1 3 4 - 4 3 2 / 3 ≈ 2,12

f 0 = 0 1 3 4 - 0 2 / 3 = 0

Portanto, temos 4 3 ,   2,12 e ( 4 ,   0 ) .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

4 3 ,   2,12 e ( 4 ,   0 )

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