Em cada item a seguir, encontre os pontos críticos da função dada (caso existirem).

(g) f x = x + 2 cos ⁡ x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar os pontos críticos da função. Mas o que são pontos críticos mesmo? São aqueles pontos onde a derivada da função f é nula ou não existe. Se chamarmos esse ponto no domínio da função de c , teremos:

f ' c = 0     o u     f ' c → ∄   ( n ã o   e x i s t e )

Essa é nossa definição e é nela que nós vamos nos basear para derivar a função, igualar o resultado da derivada a zero e encontrar os possíveis valores de c .

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = x + 2 cos ⁡ x

Derivando, temos:

f ' x = 1 - 2 sin ⁡ x

Igualando esse resultado a zero, vamos ter:

f ' x = 0

1 - 2 sin ⁡ x = 0

Agora vamos isolar x na equação pra descobrir os pontos críticos:

1 2 = sin ⁡ x → x = arcsin ⁡ 1 2

Logo,

→ x = π 4 + 2 k π

Como se trata de uma função periódica, temos alguns pontos críticos, representados por ( x = π 4 + 2 k π ). Substituindo esse valor na função, descobrimos a coordenada y do ponto ( x ,   y ) :

f π 4 = π 4 + 2 cos ⁡ π 4

f π 4 = π 4 + 2 2 2 = π 4 + 1

Portanto, temos π 4 + 2 k π ,     π 4 + 1 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

π 4 + 2 k π ,   π 4 + 1

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