Em cada item a seguir, encontre os pontos críticos da função dada (caso existirem).

(h) g t = 2 cos ⁡ ( t ) + sin 2 ⁡ ( t )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar os pontos críticos da função. Mas o que são pontos críticos mesmo? São aqueles pontos onde a derivada da função f é nula ou não existe. Se chamarmos esse ponto no domínio da função de c , teremos:

f ' c = 0     o u     f ' c → ∄   ( n ã o   e x i s t e )

Essa é nossa definição e é nela que nós vamos nos basear para derivar a função, igualar o resultado da derivada a zero e encontrar os possíveis valores de c .

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

g t = 2 cos ⁡ ( t ) + sin 2 ⁡ ( t )

Derivando, temos:

f ' x = - 2 sin ⁡ t + 2 sin ⁡ t cos ⁡ ( t )

Igualando esse resultado a zero, vamos ter:

f ' x = 0

- 2 sin ⁡ t + 2 sin ⁡ t cos ⁡ ( t ) = 0

Colocando sin ⁡ ( t ) em evidência:

2 sin ⁡ t cos ⁡ t - 1 = 0

Logo, temos:

2 sin ⁡ ( t ) = 0 → x = 2 k π   o u   x = π + 2 k π

E

cos ⁡ ( t ) - 1 = 0 → x = 2 k π

Onde k ∈ Z .

Como se trata de uma função periódica, temos infinitos pontos críticos onde a derivada é zero. Substituindo alguns desses valores na função, temos:

g 0 = 2 cos ⁡ 0 + sin 2 ⁡ 0 = 2

g π = 2 cos ⁡ π + sin 2 ⁡ π = - 2

g 2 π = 2 cos ⁡ 2 π + sin 2 ⁡ 2 π = 2

Portanto, temos 2 k π ,     2 ou ( 2 k π ,   - 2 ) .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

2 k π ,     2 ou ( 2 k π ,   - 2 )

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