Em cada item a seguir, encontre os pontos críticos da função dada (caso existirem).

(j) f x = x 2 ln ⁡ ( x )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar os pontos críticos da função. Mas o que são pontos críticos mesmo? São aqueles pontos onde a derivada da função f é nula ou não existe. Se chamarmos esse ponto no domínio da função de c , teremos:

f ' c = 0     o u     f ' c → ∄   ( n ã o   e x i s t e )

Essa é nossa definição e é nela que nós vamos nos basear para derivar a função, igualar o resultado da derivada a zero e encontrar os possíveis valores de c .

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = x 2 ln ⁡ x

Derivando, usando a regra do produto, temos:

f ' x = 2 x ln ⁡ x + x 2 1 x

f ' x = 2 x ln ⁡ x + x

Igualando esse resultado a zero, vamos ter:

f ' x = 0

2 x ln ⁡ x + x = 0

Colocando x em evidência:

x ( 2 ln ⁡ x + 1 ) = 0

Assim, temos:

x = 0

Ou

2 ln ⁡ x + 1 = 0 → x = 1 e

Mas x não pode ser zero, por a função logarítmica não está definida pra esse valor. Então, nosso único ponto crítico se encontra em x = 1 e . Substituindo esse valor na função, temos:

f 1 e = 1 e 2 ln ⁡ 1 e = - 1 2 e

Portanto, temos nosso ponto crítico em 1 e ,   - 1 2 e .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1 e ,   - 1 2 e

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