Calcule os pontos críticos (se existirem) de:

(c) f x = cos ⁡ ( π x ) + 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os pontos críticos da função f ( x ) , se eles existirem.

Pra isso, a gente tem que lembrar que os pontos críticos de uma função são os pontos onde a derivada dela é nula ou não existe. Então, o que nós vamos fazer é calcular a derivada, f ' ( x ) , analisar a expressão obtida (pra ver se existe algum ponto onde ela não existe) e igualar essa derivada a zero, para encontrar os valores críticos da função.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = cos ⁡ ( π x ) + 1

Derivando usando a regra da cadeia, vamos ter:

f ' x = - sin ⁡ π x ∙ d d x π x + 0

f ' x = - π sin ⁡ ( π x )

Como essa é uma função trigonométrica, ela existe para todos os valores de x . Então, só nos resta igualar a expressão a zero para encontrar nossos pontos críticos. Fazendo:

f ' x = 0

- π sin ⁡ π x = 0 → sin ⁡ π x = 0

Então, temos que verificar os valores de x que fazem nosso seno zerar. Isso acontece quando:

π x = 0 + 2 π n → x = 2 n

Ou

π x = π + 2 π n → x = 1 + 2 n

Onde n ∈ Z .

Isso significa que os pontos críticos dessa função, que zeram a nossa derivada, se encontram em x = 2 n e x = 1 + 2 n .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

x = 2 n ,     x = 1 + 2 n

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