Calcule os pontos de máximo e de mínimo relativos (se existirem) de:

(g) f x = cos ⁡ ( x 2 + 3 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os pontos de máximo e de mínimo relativos da função. Eles são relativos porque podem ser máximos/mínimos locais ou globais, beleza?

Mas o quê que pontos de máximo e mínimo tem em comum? Isso mesmo, a derivada da curva é nula naquele ponto. Ou seja, se em x = c temos um ponto de máximo ou mínimo, ent��o:

f ' c = 0

Como a gente sabe que os pontos onde a derivada é zero ou não existe são chamados de pontos críticos, a gente já conclui que pontos de máximo/mínimo serão sempre pontos críticos da função.

Tá, mas agora como diferenciar os pontos que são de máximo dos pontos que são de mínimo? Pra isso, existe o teste da segunda derivada. Porque dada uma função f e x = c sendo um ponto crítico da função, teremos:

f ' ' c > 0 → e n t ã o   x = c   é   u m   p o n t o   d e   m í n i m o

f ' ' c < 0 → e n t ã o   x = c   é   u m   p o n t o   d e   m á x i m o

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = cos ⁡ ( x 2 + 3 )

Vamos começar derivando ela para encontrar seus pontos críticos. Derivando usando a regra da cadeia, temos:

f ' x = - sin ⁡ x 2 + 3 ∙ 2 x

Agora vamos igualar esse resultado a zero:

- 2 x sin ⁡ x 2 + 3 = 0

→ x sin ⁡ ( x 2 + 3 ) = 0

Pra que esse produto seja verdeiro, temos x = 0 ou sin ⁡ ( x 2 + 3 ) = 0 . E como o seno é um função periódica, temos que pensar nos valores do argumento que zeram ele. Assim, tendo n como um número inteiro, vamos ter:

x 2 + 3 = 0 + 2 n π → x = ± 2 n π - 3

Ou

x 2 + 3 = π + 2 n π → x = ± π + 2 n π - 3

Então esses são os candidatos a máximo ou mínimo da função.

Passo 3

Agora derivando f ' ( x ) novamente, encontramos a segunda derivada:

f ' ' x = - 2 sin ⁡ x 2 + 3 + 2 x 2 cos ⁡ x 2 + 3

Substituindo x = 2 n π - 3 em f ' ' ( x ) , temos:

f ' ' 2 n π - 3 = - 2 sin ⁡ 2 n π - 3 2 + 3 + 2 2 n π - 3 2 cos ⁡ 2 n π - 3 2 + 3

f ' ' 2 n π - 3 = - 2 ( sin ⁡ 2 n π + 4 n π - 6 cos ⁡ 2 n π )

Como a gente só tá interessado no sinal da segunda derivada e n é um número inteiro qualquer, a gente pode avaliar a expressão na forma:

f ' ' 2 π - 3 = - 2 sin ⁡ 2 π + 4 π - 6 cos ⁡ 2 π ≈ - 19,13

Então, f ' ' < 0 para x = 2 n π - 3 . O mesmo acontece com x = - 2 n π - 3 , porque elevaríamos x ao quadrado e o resultado seria o mesmo.

Agora para x = π + 2 n π - 3 , vamos fazer da mesma forma, calculando para n = 1 :

f ' ' 3 π - 3 = - 2 sin ⁡ 3 π - 3 2 + 3 + 2 3 π - 3 2 cos ⁡ 3 π - 3 2 + 3

f ' ' 3 π - 3 = - 2 sin ⁡ 3 π + 6 π - 6 cos ⁡ 3 π ≈ 31,7

Então, em x = π + 2 n π - 3 , temos f ' ' > 0 . Portanto, para x = π + 2 n π - 3 teremos pontos de mínimo e para x = 2 n π - 3 , teremos pontos de máximo na função.

M í n i m o s → x = π + 2 n π - 3

M á x i m o s →   x = 2 n π - 3

Onde n ∈ Z .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

M í n i m o s → x = π + 2 n π - 3

M á x i m o s →   x = 2 n π - 3

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)