Calcule os seguintes limites usando a Regra de L’Hospital:

i) lim x → 0 ⁡ e x - cos ⁡ x + ln ⁡ ( 1 - x ) x tan ⁡ x .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o valor do limite usando a Regra de L’Hospital. Mas como é mesmo essa regra?

Bom, a regra de L’Hospital salva nossa vida quando temos uma indeterminações do tipo ∞ ∞ , 0 0 , 0 ∙ ∞ , ∞ - ∞ , 1 ∞ , 1 0 e por aí vai. Para os casos da interminação nos quocientes, o que nós fazemos é derivar a função no numerador e derivar a função no denominador separadamente. E no caso das outras indeterminações, a gente sempre vai tentar transformar a função em um quociente pra depois aplicar a regra de L’Hospital.

Pode aplicar quantas vezes forem necessárias pra fugir da indeterminação e conseguir aplicar o limite, beleza?

Vamos lá!

Passo 2

Nosso limite é dado por:

lim x → 0 ⁡ e x - cos ⁡ x + ln ⁡ 1 - x x tan ⁡ x

Repare que substituindo x = 0 na função, temos uma indeterminação do tipo 0 0 . Então, vamos aplicar a regra de L’Hospital e derivar em cima e embaixo separadamente:

lim x → 0 ⁡ e x + sin ⁡ x - 1 1 - x tan ⁡ x + x sec 2 ⁡ x

Ainda temos indeterminação porque tan ⁡ 0 = 0 e 0 ∙ sec 2 ⁡ 0 = 0 . Então, vamos aplicar L’Hospital novamente:

lim x → 0 ⁡ e x + co s ⁡ x - 1 1 - x 2 2 sec 2 ⁡ x + 2 x sec 2 ⁡ x tan ⁡ x

Agora sim, aplicando o limite, temos:

e 0 + cos ⁡ 0 - 1 1 - 0 2 2 sec 2 ⁡ ( 0 ) + 2 ( 0 ) sec 2 ⁡ ( 0 ) tan ⁡ ( 0 ) = 1 + 1 - 1 2 1 + 0

= 1 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1 2

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da função f x = 5 x 2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da função f x = x 3 + x 2 - x