Calcule os seguintes limites usando a Regra de L’Hospital:

c) lim x → 0 ⁡ e x + e - x - x 2 - 2 sin 2 ⁡ x - x 2 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o valor do limite usando a Regra de L’Hospital. Mas como é mesmo essa regra?

Bom, a regra de L’Hospital salva nossa vida quando temos uma indeterminações do tipo ∞ ∞ , 0 0 , 0 ∙ ∞ , ∞ - ∞ , 1 ∞ , 1 0 e por aí vai. Para os casos da interminação nos quocientes, o que nós fazemos é derivar a função no numerador e derivar a função no denominador separadamente.E no caso das outras indeterminações, a gente sempre vai tentar transformar a função em um quociente pra depois aplicar a regra de L’Hospital.

Pode aplicar quantas vezes forem necessárias pra fugir da indeterminação e conseguir aplicar o limite, beleza?

Vamos lá!

Passo 2

Nosso limite é dado por:

lim x → 0 ⁡ e x + e - x - x 2 - 2 sin 2 ⁡ x - x 2

Repare que substituindo x = 0 na função, caímos em uma indeterminação do tipo 0 0 . Então, vamos aplicar L’Hospital, derivando em cima e embaixo separadamente, pra fugir da indeterminação. Assim, usando a regra da cadeia na derivação, temos:

lim x → 0 ⁡ e x - e - x - 2 x 2 sin ⁡ x cos ⁡ x - 2 x

Usando a identidade trigonométrica 2 sin ⁡ x cos ⁡ x = sin ⁡ ( 2 x ) :

lim x → 0 ⁡ e x - e - x - 2 x sin ⁡ ( 2 x ) - 2 x

Continuamos na indeterminação 0 0 .

Calma, vamos aplicar L’Hospital novamente. Derivando numerador e denominador separadamente:

lim x → 0 ⁡ e x + e - x - 2 2 cos ⁡ ( 2 x ) - 2

É, galera, ainda não foi dessa vez. Mas não desiste, vamos de L’Hospital de novo:

lim x → 0 ⁡ e x - e - x - 4 sin ⁡ ( 2 x )

E como a gente é brasileiro e não desiste nunca, lá vamos nós de L’Hospital:

lim x → 0 ⁡ e x + e - x - 8 cos ⁡ ( 2 x )

Uffa!! Agora dá pra aplicar o limite, porque não temos mais indeterminação. Assim, temos:

e 0 + e - 0 - 8 cos ⁡ ( 2 ∙ 0 ) = 1 + 1 - 8 ( 1 )

= 2 - 8 = - 1 4

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

- 1 4

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