Calcule os seguintes limites usando a Regra de L’Hospital:

e) lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( sin ⁡ x ) ln ⁡ ( tan ⁡ x ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o valor do limite usando a Regra de L’Hospital. Mas como é mesmo essa regra?

Bom, a regra de L’Hospital salva nossa vida quando temos uma indeterminações do tipo ∞ ∞ , 0 0 , 0 ∙ ∞ , ∞ - ∞ , 1 ∞ , 1 0 e por aí vai. Para os casos da interminação nos quocientes, o que nós fazemos é derivar a função no numerador e derivar a função no denominador separadamente. E no caso das outras indeterminações, a gente sempre vai tentar transformar a função em um quociente pra depois aplicar a regra de L’Hospital.

Pode aplicar quantas vezes forem necessárias pra fugir da indeterminação e conseguir aplicar o limite, beleza?

Vamos lá!

Passo 2

Nosso limite é dado por:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ sin ⁡ x ln ⁡ tan ⁡ x

Repare que substituindo x = 0 na função, caímos em uma indeterminação do tipo 0 0 . Então, vamos aplicar L’Hospital, derivando em cima e embaixo separadamente, pra fugir da indeterminação. Assim, usando a regra da cadeia, temos:

lim x → 0 + ⁡ cot ⁡ x 2 csc ⁡ ( 2 x )

Simplificando usando identidades trigonométricas, ficamos com:

lim x → 0 + ⁡ cos 2 ⁡ ( x )

E aplicando o limite:

cos 2 ⁡ 0

= 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)