Calcule os seguintes limites usando a Regra de L’Hospital:

h) lim x → 0 + ⁡ x sin ⁡ x .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o valor do limite usando a Regra de L’Hospital. Mas como é mesmo essa regra?

Bom, a regra de L’Hospital salva nossa vida quando temos uma indeterminações do tipo ∞ ∞ , 0 0 , 0 ∙ ∞ , ∞ - ∞ , 1 ∞ , 1 0 e por aí vai. Para os casos da interminação nos quocientes, o que nós fazemos é derivar a função no numerador e derivar a função no denominador separadamente. E no caso das outras indeterminações, a gente sempre vai tentar transformar a função em um quociente pra depois aplicar a regra de L’Hospital.

Pode aplicar quantas vezes forem necessárias pra fugir da indeterminação e conseguir aplicar o limite, beleza?

Vamos lá!

Passo 2

Nosso limite é dado por:

lim x → 0 + ⁡ x sin ⁡ x

Aqui, substituindo zero na função, nós temos uma indeterminação do tipo 0 0 . Vamos supor que esse limite tenha um valor L e pra tentar tirar esse expoente que tá dando problema, vamos aplicar o ln na função e reescrever ela assim:

L = lim x → 0 + ⁡ x sin ⁡ x

ln ⁡ L = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x sin ⁡ x

Então, aplicando as propriedades de logaritmos, temos:

ln ⁡ L = lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x ln ⁡ x

Antes de aplicar L’Hospital, vamos reescrever nossa função agora como um quociente:

ln ⁡ L = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 sin ⁡ x

Mas csc ⁡ x = 1 sin ⁡ x é um identidade trigonométrica que nós podemos substituir:

ln ⁡ L = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x csc ⁡ x

Isso nos gera uma indeterminação do tipo ∞ ∞ . Mas nós podemos aplicar L’Hospital pra fugir dela, derivando numerador e denominador separadamente:

ln ⁡ L = lim x → 0 + ⁡ 1 x - csc ⁡ x ∙ cot ⁡ x

Ainda não saímos da indeterminação. Vamos dar uma arrumada na nossa função:

ln ⁡ L = - lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x tan ⁡ x x

E aplicar L’Hospital novamente:

ln ⁡ L = - lim x → 0 + ⁡ cot ⁡ x tan ⁡ x + sin ⁡ x sec 2 ⁡ x 1

Agora sim, aplicando o limite:

ln ⁡ L = - cot ⁡ 0 ∙ tan ⁡ 0 + sin ⁡ 0 ∙ sec 2 ⁡ 0 1 = - 0 1

ln ⁡ L = - 0

Então, pra isolar L e descobrir o valor do limite, vamos aplicar a exponencial dos dois lados:

L = e - 0

= 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
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Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)