Considere em cada um dos itens abaixo a função dada por g ( x ) e em seguida determine o que

se pede:

g ( x ) = x 2 e - x

A função assume máximo ou mínimo absoluto? Em caso afirmativo, quais são estes

valores?

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo . Nosso objetivo é verificar se g ( x ) assume máximo ou mínimo absoluto.

Como encontramos esses máximos e mínimos? É o famoso deriva e iguala a zero. Mas para garantirmos que os pontos serão de máximo ou de mínimo, precisamos olhar o sinal da segunda derivada.

Se o sinal da segunda derivada for positivo, então é ponto de mínimo e se for negativo, é ponto de máximo.

Na letra d ) já calculamos a derivada

d d x g ( x ) = e - x ( - x 2 + 2 x )

e vimos que ela vale zero quando

x = 0 ,   e   x = 2

Passo 2

Agora, vamos calcular a segunda derivada e verificar seu sinal.

d d x d d x g ( x ) = d d x e - x ( - x 2 + 2 x )

Usando a regra da cadeia e a regra do produto, temos que:

d 2 d x 2 g ( x ) = e - x x 2 - 2 x e - x + 2 e - x - 2 x e - x

= e - x ( x 2 - 4 x + 2 )

Agora, quando que essa segunda derivada é zero? Ora, quando

e - x ( x 2 - 4 x + 2 ) = 0

⇔ ( x 2 - 4 x + 2 )

que é uma equação do segundo grau. Cujas raízes são:

x = 2 + 2

x = 2 - 2

Logo temos que Logo esses são os pontos onde a nossa segunda derivada é zero. Vamos verificar o sinal da nossa derivada para os valores onde x < 2 - 2 , 2 - 2 < x < 2 + 2 , x > 2 + 2 ,

Começando com x < 2 - 2 .

Se x < 0 , então

e - x ( x 2 - 4 x + 2 ) > 0

Se 2 - 2 < x < 2 + 2 , então

e - x ( x 2 - 4 x + 2 ) < 0

se   x > 2 + 2 , então

e - x ( x 2 - 4 x + 2 ) > 0

Na reta real ficaria assim.

Passo 3

Agora que sabemos os sinais da segunda derivada e os pontos onde a primeira derivada é zero, podemos verificar os pontos de máximo ou mínimo globais

A primeira derivada é nula em

x = 0 ,   e   x = 2

Como o sinal da segunda derivada em x = 0 é positiva, então esse será um ponto de mínimo local. Mas é de mínimo global? A resposta é sim. Pois como vimos

g ( x ) ≥ 0

E quando   x = 2 , o sinal da segunda derivada é negativo. Logo esse é um ponto de máximo local, mas não será de máximo global. Uma vez que

l i m x → - ∞ g ( x ) = ∞

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)