Considere a função f   :   R →   R cuja derivada é f ' x = e - x ( x 2 - 2 x )

(a) os pontos críticos de   f

Passo 1

Faaaala, galeraaaa! Tudo belezinha?

Bom, os pontos críticos de uma função nada mais são do que os pontos em que a derivada da nossa função é nula, ou seja, f ' x = 0 .

f ' x = e - x x 2 - 2 x = 0

e - x x 2 - 2 x = 0

Assim, devemos fazer:

e - x = 0       o u         x 2 - 2 x = 0

e - x = 0       ⇒ n ã o   t e m   s o l u ç ã o   x ∈ R

Então nos resta apenas:

x 2 - 2 x = x ( x - 2 ) = 0

x = 0  

x - 2 = 0 ⇒ x = 2

Passo 2

O segundo passo para resolver essa questão é encontrar o valor de y em que x = 0   e x = 2 . Para isso vamos integrar a função que está derivada para obter a função original.

∫ f ' ( x ) d x = ∫ ( e - x x 2 - 2 x ) d x = e - x x 2 + C

Então nossa função é:

f x = e - x x 2 + C

Aqui vamos precisar considerar que C = 0 , porque não temos como descobrir.

Passo 3

Por fim, vamos substituir os valores de x = 0 e x = 2 para encontrar os pontos.

Substituindo x = 2 :

f x = e - x x 2

f 2 = e - ( 2 ) ( 2 ) 2 = - 4 e 2 = - 0,54

P 1 = 2 , - 0,54

Substituindo x = 0 :

f 0 = e - ( 0 ) ( 0 ) 2 = 1 ∙ 0 = 0

P 2 = 0 ,   0

Prontinho, até mais!

Resposta

P 1 = 2 , - 0,54

P 2 = 0 ,   0

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
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