Considere a função f x = x e - x , definida em seu maior domínio possível.

c) Determine em quais intervalos a função é crescente e em quais ela é decrescente, apresentando os pontos de máximo ou mínimo locais, se existirem.

Passo 1

Ooii povo bonito, vamo simbora matar mais uma questão!!

Aqui temos a função:

f x = x e - x

E, precisamos determinar os intervalos em que a função é crescente e decrescente, como também os pontos de máximo e mínimo locais. Vamo nessa?

Bom, pra encontrar os intervalos nos quais a função cresce ou decresce, precisamos calcular a derivada de f . Onde a derivada for positiva, a função é crescente. Já quando a derivada for negativa, a função é decrescente.

Já para encontrar os pontos de máximo ou mínimo locais, precisamos verificar em quais pontos temos:

f ' x = 0

Show? Então bora lá, mãos à obra!

Passo 2

Pra começar precisaremos calcular a derivada de f . Assim:

f ' x = x ⋅ e - x '

Como temos um produto de funções precisaremos usar a regra do produto:

g ⋅ h ' = g ' ⋅ h + g ⋅ h '

Logo:

f ' x = x ' ⋅ e - x + x ⋅ e - x '

Temos que:

x ' = 1 e - x ' =   - e - x

Substituindo, vamos ter:

f ' x = e - x + x ⋅ - e - x

= e - x ( 1 - x )

Ou seja:

f ' x = e - x ( 1 - x )  

Muito bom!

Passo 3

Agora que já calculamos a derivada da nossa função f , podemos analisar em quais intervalos ela será positiva ou negativa.

f ' x =   e - x ( 1 - x )

Temos o produto de duas funções, mas e - x é a função exponencial e ela é sempre positiva.

Assim, o sinal de f ' ( x ) dependerá somente do termo ( 1 - x ) .

Temos que:

1 - x > 0

⇔ x < 1

Por outro lado:

1 - x < 0

⇔ x > 1

E, por fim:

1 - x = 0

⇔ x = 1

Excelente! Dessa forma, temos que:

f ' x < 0   s e   x ∈ 1 , + ∞ f ' x = 0   s e   x = 1 f ' x > 0   s e   x ∈ - ∞ ,   1

Massa! Como falamos no passo 1 , o sinal de f ' ( x ) definirá onde f cresce ou decresce. Logo:

f x   é   c r e s c e n t e   s e   x ∈ - ∞ ,   1 f x é   d e c r e s c e n t e   s e   x ∈ 1 , ∞

E, quando x = 1 temos um ponto de máximo local, pois f ( x ) deixa de estar crescendo e passa a estar decrescendo.

Eaí, curtiram a solução? Obrigado pela atenção gente, até a próxima 😊

Resposta

f x   é   c r e s c e n t e   s e   x ∈ - ∞ ,   1 f x é   d e c r e s c e n t e   s e   x ∈ 1 , ∞ x = 1   é   p o n t o   d e   m á x i m o   l o c a l

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)