5. Considere a função f x = 4 x + 8 x + 1 2 .

  1. Determine os intervalos nos quais f é crescente e decrescente.
  2. Determine os intervalos nos quais f é côncova (concavidade voltada para cima) ou com convexa (concavidade voltaa para baixo).
  3. Determine os pontos de máximo e mínimo locais de f .

Passo 1

  1. Oi, galerinha! Tudo bom? Para descobrirmos onde a função é crescente e onde ela descrece, precisaremos achar seus pontos críticos!
  2. Para isso precisamos derivar a nossa função e igualar a zero.

    Aplicando a regra da quociente para derivar f ( x ) ficamos com

    f ' x = 4 x + 8 ' x + 1 2 - 4 x + 8 x + 1 2 ' x + 1 2 2

    f ' x = 4 x + 1 2 - 4 x + 8 2 x + 2 x + 1 4

    f ' x = - 8 x + 12 x + 1 4

    Igualando a zero, ficamos com

    f ' x = - 8 x + 12 x + 1 4 = 0

    8 x + 12 = 0

    x = - 12 8 = - 3 2

    Temos x = - 3 2 é um ponto crítico! Agora vamos analisar seu entorno!

    Passo 2

    Para x < - 3 2 , temos que f ' x > 0 (aqui se você quiser conferir, pode escolher qualquer valor valor menor que - 3 2 e substituir na derivada para encontrar um valor positivo). E para x > - 3 2 , temos f ' x < 0 (se quiser conferir aqui também, sem problemas). Logo f é crecente em valor menores que - 3 2 e decrescente em valores maior que - 3 2 .

    Agora vamos para letra c e depois voltamos para letra b

    Passo 3

    c)Aqui temos que dizer sinalizar os mínimos e máximos locais. Nos passos anteriores já vimos que x = - 3 2 é um ponto critico e temos também que a função é crescente para valores menores que - 3 2 e decrescente para valores maiores - 3 2 . Então já fizemos quase tudo que precisa ser feito pra resolver o item c. Se desenharmos esse perfil num gráfico vamos verificar que esse é um ponto de máximo local.

    Se a função cresce até determinado ponto e depois passa a decrescer, então quer dizer que esse é um ponto de máximo local. Que é o que acontece aqui em x = - 3 2 . Da mesma forma, se a função decresce até um ponto e depois passa a crescer, esse seria um ponto de mínimo local. Mas esse segundo caso é só uma dica pra outras questões!

    LogoAgora que sabemos que x = - 3 2 é um ponto de máximo local, vamos achar o valor da função nesse ponto:

    f x = 4 x + 8 x + 1 2

    f - 3 2 = 4 - 3 2 + 8 - 3 2 + 1 2 = 8

    O máximo local será em - 3 2 , 8 .

    Passo 4

  3. Agora vamos analisar a segunda derivada, para então descobrir onde ela é concova ou convexa. Sempre que estivermos falando de concavidade, você já sabe que é sobre segunda derivada!

Fazendo a segunda derivada temos,

f ' x = - 8 x + 12 x + 1 4

f ' ' x = - 8 - 3 x - 5 x + 1 5

Igualando a zero ficamos com

f ' ' x = - 8 - 3 x - 5 x + 1 5 = 0

- 3 x - 5 = 0

x = - 5 2

Agora vamos analisar o seu entorno, seguindo o mesmo raciocinio da primeira derivada!

Para x < - 5 3 , temos que f " x < 0 e para x > - 5 3 , temos f " x > 0 . Logo f é convexa em valor menores que - 5 3 e concova côncova em valores maior que - 5 3 .

  • Quando f " x < 0 , a função é convexa
  • Quando f " x > 0 , a função é côncava

Resposta

  1. f é crecente em valor menores que - 3 2 e decrescente em valores maior que - 3 2 .
  2. é convexa em valor menores que - 5 3 e concova em valores maior que - 5 3 .
  3. O máximo local será em - 3 2 , 8 .

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)