Considere a função:

f ( x ) = ∫ 0 ( x )   3 - e t 2 d t

Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f , seus intervalos de concavidade, e classifique os seus pontos críticos como máximo local, mínimo local, ou sela (obs: nāo precisa achar uma fórmula para f ).

Passo 1

Para analisar os intervalos de crescimento e decrescimento, os intervalos de concavidade e classificar os pontos críticos da função f ( x ) = ∫ 0 x   3 - e t 2 d t , vamos usar a informação fornecida pela integral para entender seu comportamento, sem encontrar uma fórmula exata para f ( x ) .

Primeiro, vamos analisar a derivada da função f ( x ) . A derivada de f ( x ) em relação a x é f ' ( x ) = 3 - e x 2 , que é a função que está sendo integrada na definição de f ( x ) .

Agora, vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento de f ( x ) :

Q u a n d o   f ' ( x ) > 0 ,   a   f u n ç ã o   f ( x )   e s t á   c r e s c e n d o .

Q u a n d o   f ' ( x ) < 0 ,   a   f u n ç ã o   f ( x )   e s t á   d e c r e s c e n d o .

Passo 2

P a r a   f ' ( x ) = 3 - e x 2   :

f ' ( x ) > 0 quando 3 - e x 2 > 0 , ou seja, quando e x 2 < 3 . Isso acontece em um intervalo em torno de x = 0 .

f ' ( x ) < 0 quando 3 - e x 2 < 0 , ou seja, quando e x 2 > 3 . Isso acontece em intervalos maiores em ambos os lados de x = 0 .

Portanto, f ( x ) está crescendo em um intervalo próximo a x = 0 e decrescendo nos intervalos maiores em ambos os lados de x = 0 .

Passo 3

Agora, vamos analisar os intervalos de concavidade da função f ( x ) :

Quando f ' ' ( x ) > 0 , a função f ( x ) está côncava para cima.

Quando f ' ' ( x ) < 0 , a função f ( x ) está côncava para baixo.A segunda derivada de f ( x ) em relação a x é f ' ' ( x ) = - 2 x e x 2 :

f ' ' ( x ) > 0 quando - 2 x e x 2 > 0 , ou seja, quando x < 0 . Isso significa que a função está côncava para cima no intervalo �� esquerda de x = 0 .

f ' ' ( x ) < 0 quando - 2 x e x 2 < 0 , ou seja, quando x > 0 . Isso significa que a função está côncava para baixo no intervalo à direita de x = 0 .

Passo 4

Agora, vamos considerar os pontos críticos da função f ( x ) , que ocorrem onde f ' ( x ) = 0 :

f ' ( x ) = 3 - e x 2 = 0

Isso ocorre quando e x 2 = 3 , o que não tem soluções reais. Portanto, não há pontos críticos.

Resposta

  • Intervalos de crescimento: Próximo a x = 0
  • Intervalos de decrescimento: À esquerda e à direita de x = 0
  • Intervalos de concavidade para cima: À esquerda de x = 0
  • Intervalos de concavidade para baixo: À direita de x = 0
  • Pontos críticos: Não háEssas informações nos dão um panorama qualitativo do comportamento da função f ( x ) sem a necessidade de calcular sua fórmula exata.

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
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