Considere a função f x , y = x y .

b ) Determine os máximos e mínimos de f no compacto { x , y ∈ R 2 : x 2 + 4 y 2 ≤ 4 } .

Passo 1

Fala aí galera, tudo bem?

Nessa questão recebemos a função de duas variáveis dada por:

f x , y = x y

E, precisamos determinar os máximos e mínimos de f na região:

{ x , y ∈ R 2 : x 2 + 4 y 2 ≤ 4 }

Pra fazer isso, precisamos primeiramente calcular os pontos críticos globais de f . Fazemos isso resolvendo o sistema dado pela equação:

∇ f = ( 0,0 )

Depois que encontrarmos os pontos críticos, temos que analisar a nossa fronteira, dado que essa região é fechada.

Após reunirmos todos os pontos críticos, podemos analisá-los calculando os seus valores na função f ( x , y ) .

Show de bola! Vamo nessa!

Passo 2

Pra começar, vamos encontrar os pontos críticos da função através do gradiente.

Temos que:

∇ f = ( f x , f y )

Daí:

f x = ∂ x y ∂ x = y

f y = ∂ x y ∂ y = x

Logo:

∇ f = y , x = ( 0,0 )

Assim, o único ponto crítico que encontramos é ( 0,0 ) . Esse ponto pertence à nossa região, pois:

0 2 + 4 ⋅ 0 2 ≤ 4

Beleza! Precisamos agora analisar a fronteira da nossa região. Na fronteira, temos:

x 2 + 4 ⋅ y 2 = 4

∴ x 2 = 4 1 - y 2

⇒ x = ± 2 1 - y 2

Daí, substituindo na nossa função, vamos ter que na fronteira vale:

f y = 2 1 - y 2 ⋅ y

Pra calcular os pontos de máximo e mínimo dessa função, podemos fazer:

d f d y = 0

Assim, pela regra do produto, temos:

d 2 1 - y 2 ⋅ y d y = 2 ⋅ 1 - y 2 ' ⋅ y + 2 1 - y 2 ⋅ ( y ) '

= 2 y ⋅ 1 2 1 - y 2 ⋅ - 2 y + 2 1 - y 2

= - 2 y 2 + 2 1 - y 2 1 - y 2

Logo, para que essa derivada seja nula, precisamos ter:

2 - 4 y 2 = 0

∴ y 2 = 1 2

⇒ y = ± 2 2  

Assim, temos:

x = ± 2 ⋅ 1 - 1 2

= ± 2

Logo, temos os seguintes pontos críticos:

0,0 ,   2 , 2 2 , - 2 , 2 2 ,   2 , - 2 2 , - 2 , - 2 2

Show de bola!

Passo 3

Agora, calcular quanto vale f para cada um desses pontos. Assim, descobriremos quais são os máximos e mínimos de f nessa região.

Começando por ( 0,0 ) , temos:

f 0,0 = 0 ⋅ 0 = 0

Os próximos:

f 2 , 2 2 = 2 ⋅ 2 2 = 1

f 2 , - 2 2 = 2 ⋅ - 2 2 = - 1

f - 2 , 2 2 = - 1

f - 2 , - 2 2 = 1

Perfeito!

Portanto, temos:

m á x i m o → 2 , 2 2 , - 2 , - 2 2

m í n i m o → 2 ,   - 2 2 , - 2 , 2 2

E é isso gente! Finalizamos a questão.

Espero que vocês tenham curtido a solução, até a próxima 😊

Resposta

m á x i m o → 2 , 2 2 , - 2 , - 2 2

m í n i m o → 2 ,   - 2 2 , - 2 , 2 2

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)