3) Considere a função g t = t t - t 2 .

a) Mostre que o domínio de g é precisamente o intervalo fechado [ 0,1 ]

b) Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos de g . Ainda, calcule os valores de máximo e mínimo da função g .

Passo 1

Fala aí, galerinha! Tudo belezinha com vocês?

Bom, essa questão deu pra gente a função g t = t t - t 2 e pediu pra determinar qual era o seu domínio. Mas como fazemos isso?

Pra determinar o domínio de uma função precisamos procurar os valores de t em que a função está definida. Ou seja, os valores que o t pode assumir sem dar problema em nenhuma parte da função. E no nosso casa, temos uma parte da função que está dentro de uma raiz quadrada, e ali não podemos ter valores negativos, pois no conjunto dos números reais a raiz quadrada de números negativos não está definida.

Então esse será o plano, procurara os valores de t que funcionam dentro da raiz. Ok?

Na letra b) o problema também pede pra gente determinar os ponto e valores de máximo e mínimo da função, e faremos isso lembrando que a derivada da função vai a zero nos pontos críticos, que são os pontos que podem ser de máximo ou mínimo. Show?

Vem que te mostro como fazer.

Passo 2

Começando pela letra a), vamos procurar o domínio da função fazendo

g t = t t - t 2

Com

t - t 2 ≥ 0

Podemos reescrever como

t ⋅ 1 - t ≥ 0

Podemos separa aqui em duas condições

t ⋅ 1 - t = 0

Ou

t ⋅ 1 - t > 0

Para

t ⋅ 1 - t = 0

Teremos

t = 0

E

1 - t = 0

t = 1

E para

t ⋅ 1 - t > 0

Como temos um produto entre duas funções onde precisamos que o resultado seja maior ou igual a zero, teremos que fazer a análise de sinal já que + ⋅ + = + e - ⋅ - = + .

Então vamos construir a seguinte tabela. Perceba que:

Juntando as duas informações que acabamos de encontrar, teremos o domínio constituído de valores de t que podem ser

0 ≤ t ≤ 1

E pra ficar chique podemos escrever:

d o m   g t = t ∈ R 0 ≤ t ≤ 1

Maravilha, agora vamos para a letra b.

Passo 3

Para determinar os pontos de máximo e mínimo faremos a derivada da função igual a zero e acharemos os pontos críticos.

g ' t = 0

Como

g t = t t - t 2

Para fazer a derivada precisaremos usar a regra do produto, e da cadeia.

g ' t = t ' ⋅ t - t 2 + t ⋅ t - t 2 '

Assim

g ' t = t - t 2 + t ⋅ 1 2 t - t 2 - 1 2 ⋅ ( 1 - 2 t )

Ajeitando um pouco essa bagunça, teremos:

g ' t = t - t 2 + t 1 - 2 t 2 t - t 2

Vamos somar essas parcelas api usando o m.m.c.

g ' t = t - t 2 ⋅ 2 t - t 2 + t 1 - 2 t 2 t - t 2

Ficando com

g ' t = 2 ( 1 - 2 t ) + t 1 - 2 t 2 t - t 2

Que pode ser escrito como:

g ' t = 3 t - 4 t 2 2 t - t 2

Ou

g ' t = t 2 t - t 2 ⋅ 3 - 4 t

Agora temos a derivada em forma de um produto. E estamos procurando os pontos críticos, então essa derivada será igual a zero. Vamos fazer isso no próximo passo, pra ficar tudo organizado na nossa cabeça.

Passo 4

Um produto só pode dar zero se um dos seus fatores for igual a zero. Assim:

g ' t = t 2 t - t 2 ⋅ 3 - 4 t = 0

Se

t 2 t - t 2 = 0

Mas aqui não podemos fazer t = 0 , pois isso gera uma indeterminação. Só o que podemos concluir é que esse é um fator positivo.

Sim só teremos

3 - 4 t = 0

Onde

t = 3 4

Achamos nosso ponto crítico. Como se trata de um intervalo fechado, precisamos também avaliar o valor da função nesse ponto crítico e também nos extremos do intervalo.

Passo 5

Vamos calcular o valor da função em cada um dos pontos que temos para determinar seus pontos de máximo e mínimo.

Lembrado que o intervalo é fechado em 0,1

Assim, se

g t = t t - t 2

g 0 = 0

g 1 = 1 1 - 1 2 = 0

E

g t = 3 4 3 4 - 3 4 2 = 3 3 16

E poderemos dizer que 0 e 1 são mínimos absolutos de g , e g tem valor mínimo igual a 0 .

E também que t = 3 4 é ponto de máximo absoluto de g , e g tem valor máximo igual a 3 3 16 .

E prontinho! Encontramos nossa resposta!

Resposta

a)

d o m   g t = t ∈ R 0 ≤ t ≤ 1

b)

Ponto de mínimo absoluto da função em t = 0 e t = 1

Ponto de máximo absoluto da função em t = 3 4

Valor mínimo da função g 0 = g 1 = 0

Valor máximo da função g 3 4 = 3 3 16

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