5) Considere a função f x = e x - x , onde x ∈ R . Encontre os valores de máximos e mínimos locais (se houver). A função tem um valor de mínimo global? Encontre uma equação para a assíntota oblíqua de f .

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Sem enrolar, vamos começar o exercício procurando pelos valores de máximo e mínimo. Para isso, faremos o teste da primeira derivada e o teste da segunda derivada.

O teste da primeira derivada consiste em derivar a função uma vez e igualar a 0 para encontrarmos uma possível coordenada x que seja um ponto crítico.

Então vamos nessa, derivando f ( x ) :

f ' x = e x - 1

Igualando a zero:

e x - 1 = 0

e x = 1

ln ⁡ e x = ln ⁡ 1

x = 0

Quando colocamos x = 0 em f ( x ) :

y = e 0 - 0

y = 1

Então, o ponto ( 0 ,   1 ) é crítico.

Passo 2

Para descobrirmos se esse ponto crítico é de máximo ou de mínimo, vamos fazer o teste da derivada segunda. Esse teste consiste em derivar f ' ( x ) e verificar o resultado com o ponto crítico. Se a resposta for um número positivo, o ponto é de mínimo, se for negativo, o ponto é de máxima.

Então vamos nessa:

f ' ' x = e x

Aplicando x = 0 :

f ' ' x = e 0

f ' ' x = 1

Portanto, é um ponto de mínimo.

Esse é um mínimo global, é o único ponto que muda a tendência do eixo y no gráfico.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a assíntota oblíqua de f ( x ) .

Essa assíntota deve ser uma reta que tem o formato y = m x + n .

Para encontrarmos m e n , devemos seguir:

m = lim x → ± ∞ ⁡ f x x

n = lim x → ± ∞ ⁡ f x - m x

Perceba que precisamos começar o cálculo com m e precisamos encontrar tanto o limite tendendo ao infinito positivo quanto o limite tendendo ao infinito negativo.

Começando com o limite tendendo a infinito positivo, chamaremos m 1 e n 1 :

m 1 = lim x → ∞ ⁡ e x - x x

m 1 = lim x → ∞ ⁡ e ∞ - ∞ ∞ = ∞

Como m 1 = ∞ , não podemos calcular n 1 . Vamos avaliar o próximo limite.

Passo 4

Agora faremos o limite tendendo a infinito negativo, chamaremos m 2 e n 2 :

m 2 = lim x → - ∞ ⁡ e x - x x

m 2 = lim x → - ∞ ⁡ 0 - ∞ ∞ = - 1

Então, para n 2 :

n 2 = lim x → - ∞ ⁡ e x - x - - 1 x

n 2 = lim x → - ∞ ⁡ e x - x + x

n 2 = lim x → - ∞ ⁡ e x = 0

Então, a assíntota é:

y = - 1 x + 0

y = - x

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

Respostas no desenvolvimento acima.

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
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