4 – Considere uma reta vertical que intercepta os gráficos y = 16 x 2 e y = - 1 / x 2 nos pontos P e Q , respectivamente. Sabendo que o comprimento L do segmento P Q - é o menor possível, determine o valor de L .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão foi dada duas equações que vamos chamar de y 1 = 16 x 2 e y 2 = - 1 / x 2 .

Entre o gráfico dessas equações, existe um segmento de reta P Q - de comprimento variável L .

Com essas informações, queremos saber qual é a menor distancia possível do seguimento P Q - .

E aí! Como fazemos isso? 🤔🤔

Podemos considerar y 1 e y 2 como funções y 1 x e y 2 x , e também a distância L como L x .

Em uma função f x , o que nos dá a altura de um ponto dessa função? O próprio resultado de f x , não é?

Então podemos dizer que a altura L x é a subtração entre y 1 x e y 2 x ? Ou seja

L x = y 1 x - y 2 x

Logo, se L x é a função que resulta na distância entre as duas funções, se encontrarmos o ponto mínimo de L x , encontramos o resultado!

Entendeu? Bora ver na prática! 😁

Passo 2

Vamos começar substituindo y 1 x = 16 x 2 e y 2 x = - 1 / x 2 em L x

L x = y 1 x - y 2 x

L x = 16 x 2 - - 1 x 2 = 16 x 2 + 1 x 2

Simplificando...

L x = 16 x 2 + x - 2

Para encontrar o ponto mínimo de L x , vamos encontrar os pontos críticos derivando e igualando a 0 .

Derivando pelo método de derivação polinomial multiplicando a variável pelo seu expoente e subtraindo 1 da sua potência...

L ' x = 2 16 x 2 - 1 + - 2 x - 2 - 1

L ' x = 32 x - 2 x - 3

Igualando a 0

32 x - 2 x - 3 = 0

32 x = 2 x - 3

32 x = 2 x 3

Isolando x

32 x 4 = 2

x 4 = 1 16

x = 1 16 4

Como a b = a b , então

x = 1 4 16 4

Perceba que 1 4 = 1 e que podemos reescrever 16 4 como 2 4 4 , portanto

x = 1 2 4 4 = 1 2

Como 2 está em módulo, podemos ter + 2 ou - 2 , concorda?

Então temos apenas dois pontos críticos para a função L x

x = 1 2 ,     x = - 1 2

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora, a maneira mais rápida de verificar qual dos pontos representa a menor distância L , é substituir x = 1 2 e x = - 1 2 em L x .

Para x = 1 2 , temos

L 1 2 = 16 1 2 2 + 1 2 - 2

Como a b 2 = a 2 b 2 ...

L 1 2 = 16 1 4 + 1 1 4

L 1 2 = 16 4 + 4

L 1 2 = 8

A distância entre as equações em x = 1 / 2 é 8 !

Agora para x = - 1 2

L - 1 2 = 16 - 1 2 2 + - 1 2 - 2

Como - a 2 = a 2 seguimos com uma equação muito parecida com a anterior.

L - 1 2 = 16 1 4 + 1 1 4

L - 1 2 = 16 4 + 4 = 8

Logo, em x = - 1 / 2 a distância entre as funções também é igual a 8 !

Para efeito de verificação, vamos ver qual é a distância em um ponto diferente, por exemplo em x = 1 .

L 1 = 16 1 2 + 1 - 2 = 16

L 1 > L 1 2 = L - 1 2 , portanto, 8 é realmente a menor distância possível entre y 1 e y 2 !

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

P Q - = 8

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)