20 . Dada a função f x = 4 x 3 - 12 x 2 - 180 x + 1 , considere as afirmações abaixo:

( I ) f é decrescente no intervalo ( - 3,5 ) ;

I I f é côncava para baixo em - ∞ , 1

I I I f possui um máximo local em x = 5 .

Podemos concluir que

A : As três afirmações são verdadeiras

B : As afirmações I e I I I são verdadeiras e a afirmação I I falsa.

C : As afirmações I e I I são verdadeiras e a afirmação I I I falsa.

D : A afirmação I I I é verdadeira e as afirmações I e I I falsa.

E : As três afirmações são falsas.

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve detona essa questão juntos!

Para sabermos se uma função tem máximos ou mínimos locais temos que primeiro ver se a derivada dessa função zera em algum ponto x .

Caso isso aconteça a gente calcula a segunda derivada da função e avalia o valor dela nesses pontos e ver se ela é negativa é um ponto de máximo (concavidade para baixo) e se ela for positiva é um ponto de mínimo (concavidade para cima).

Caso a derivada função não zere em nenhum ponto essa função não tem valores de máximo nem de mínimo.

E para saber se f é decrescente basta ver se o valor da derivada de f é negativo no intervalo que temos interesse.

Vamos as contas!

Passo 2

Antes de avaliarmos cada afirmação vamos calcular a primeira e a segunda derivada de f , temos:

f x = 4 x 3 - 12 x 2 - 180 x + 1

Assim:

f ' x = 4 ( 3 x 2 ) - 12 ( 2 x ) - 180 ( 1 )

= 12 x 2 - 24 x - 180

Agora vamos derivar mais uma vez, assim:

f ' ' x = 12 2 x - 24 ( 1 )

= 24 x - 24

Passo 3

Vamos começar com a primeira afirmação.

Temos que ver se f ' ( x ) é negativa no intervalo ( - 3,5 ) , função f ' ( x ) é dada por:

f ' x = 12 x 2 - 24 x - 180

Os valores de x = - 3 e x = 5 não estão dentro do intervalo segundo a notação ( ) .

Avaliando essa função em x = - 2 , temos:

48 + 48 - 180 = - 84

Avaliando essa função em x = - 1 , temos:

12 + 24 - 180 = - 144

Avaliando essa função em x = 0 , temos:

0 + 0 - 18 0 = - 180

Avaliando essa função em x = 1 , temos:

12 - 24 - 180 = - 192

Avaliando essa função em x = 2 , temos:

48 - 48 - 180 = - 180

Avaliando essa função em x = 3 , temos:

108 - 72 - 180 = - 144

Avaliando essa função em x = 4 , temos:

192 - 96 - 180 = - 84

Como todos os valores de f ' ( x ) são negativos temos que f ( x ) é decrescente nesse intervalo.

Essa afirmação é verdadeira!

Passo 4

Agora vamos analisar o a segunda afirmação.

Para saber se a função é concava para baixo nesse intervalo temos que ver se a segunda derivada dela é negativa nesse intervalo.

A segunda derivada é dada por:

f ' ' x = 24 x - 24

O intervalo que estamos interessados é ( - ∞ , 1 ) .

Olhando essa função podemos ver que para qualquer valor de x menor que 1 ela tem um valor negativo.

Quando x = 0 , temos f ’ ’ 1 = 0 e para valores maiores que 1 ela é positiva, então a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Vamos para última afirmação.

Para saber se f ( x ) tem máximo local em x = 5 temos que ver se f ' 5 = 0 e caso isso seja verdade temos que ver se f ' ' 5 < 0 .

Vamos ver o que temos para f ' ( 5 ) , temos:

f ' 5 = 12 ( 5 ) 2 - 24 ( 5 ) - 180

= 300 - 120 - 180 = 0

Agora vamos ver se f ' ' 5 < 0 , temos:

f ' ' 5 = 24 ( 5 ) - 24

= 120 - 24 = 96

Então x = 5 é ponto de mínimo e não de máximo, então a terceira afirmação é falsa.

Então só afirmações ( I ) e ( I I ) são verdadeiras, logo a letra correta é a C .

Resposta

C : As afirmações I e I I são verdadeiras e a afirmação I I I falsa.

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