3 . Dada a função f x = e 3 x x 7 , considere as afirmações:

( I ) x = 0 não é ponto de mínimo local nem ponto de máximo local de f .

I I   x = - 1 21 é ponto de máximo local de f .

I I I   x = 1 21 é ponto de mínimo local de f .

I V   f não possui nem mínimo nem máximo locais.

Selecione a opção correta:

A : As quatro afirmações são falsas.

B : A afirmação ( I V ) é verdadeira e as demais são falsas.

C : As afirmações ( I ) e ( I I I ) são verdadeiras e as demais são falsas.

D : A afirmação ( I ) é verdadeira e as demais são falsas.

E : A afirmação ( I I ) é verdadeira e as demais são falsas.

Passo 1

Vem comigo que a gente detona com essa questão juntos!

A função que o enunciado nos deu é a seguinte:

f x = e 3 x x 7

⇒ f x = e 3 x x 1 / 7

Nesse problema, vamos ter que pegar a função que o enunciado nos deu e derivar ela até a segunda derivada e analisar cada afirmação e ver se é verdadeira ou falsa.

Então vamos analisar cada afirmação separadamente e ver o que podemos fazer para saber se a afirmação é verdadeira ou falsa.

Vamos nessa então!

Passo 2

Vamos primeiro calcular a primeira derivada da função f ( x ) . Nessa conta vamos usar a regra da cadeia e a regra do produto ao nosso favor, temos:

f ' x = ( e 3 x ) ' x 1 / 7 + e 3 x ( x 1 / 7 ) '

= 3 e 3 x x 1 / 7 + 1 7 e 3 x x - 6 / 7

= 3 e 3 x x 1 / 7 + e 3 x 7 x 6 / 7

Agora podemos analisar cada afirmação do enunciado.

Passo 3

A afirmação ( I ) diz que 0 não é ponto de mínimo e nem de máximo, temos que ver se a primeira derivada de f ( x ) é zero para x = 0 . Temos:

f ' x = 3 e 3 x x 1 / 7 + e 3 x 7 x 6 / 7

Quando colocamos x = 0 nossa função da ruim, já que temos um x 6 / 7 no denominador, então a função não é definida nesse ponto.

Então x = 0 não é ponto de mínimo. Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 4

Agora vamos para a ( I I ) . Vamos achar o ponto x que zera a primeira derivada, temos:

3 e 3 x x 1 / 7 + e 3 x 7 x 6 / 7 = 0

⇒ 3 e 3 x x 1 / 7 = - e 3 x 7 x 6 / 7

⇒ 3 x 1 / 7 = - 1 7 x 6 / 7

⇒ x 1 / 7 x 6 / 7 = - 1 21

Então temos que:

x = - 1 21

Mas se a gente substituir esse valor na função f x = e 3 x x 7 , vamos obter um número negativo, e como a função assume valores positivos em algum momento, podemos garantir que o ponto x = - 1 21 não será máximo, logo a alternativa ( I I ) é falsa.

Passo 5

Agora a afirmação ( I I I ) .

Como já vimos no passo anterior o único ponto em que a primeira derivada é zero é x = - 1 21 , então não tem como x = 1 21 não é ponto de mínimo da função f ( x ) .

Logo essa afirmação é falsa.

Passo 6

Por último a afirmação ( I V ) .

Ela falou que f não tem pontos de máximo e nem de mínimo. Nós já achamos o único ponto em que a derivada é igual a zero que foi x = - 1 / 2 .

Então a afirmação é falsa.

Assim as única afirmação verdadeira é a ( I ) , então a alternativa correta é a letra D .

Resposta

D : A afirmação ( I ) é verdadeira e as demais são falsas.

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