Dentre todos os planos que são tangentes à superfície x y 2 z 2   =   1 encontre aqueles mais distantes da origem.

Passo 1

Para encontrar o plano tangente mais distante da origem à superfície ( x y 2 z 2 = 1 ) , podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange. O objetivo é maximizar a distância da origem ao plano, sujeito à restrição da tangência ao superfície.

Primeiro, vamos definir a função a ser otimizada:

[ D = x 2 + y 2 + z 2 ]

Nossa restrição é ( x y 2 z 2 = 1 ) . Agora, vamos definir o Lagrangiano:

[ L x , y , z , λ = x 2 + y 2 + z 2 + λ 1 - x y 2 z 2 ]

Agora, podemos calcular as derivadas parciais em relação a ( x ) ,   ( y ) ,   ( z ) ,   e   ( λ ) e igualá-las a zero:

1 . ( ∂ L ∂ x = 2 x - y 2 z 2 λ = 0 )

2 . ( ∂ L ∂ y = 2 y - 2 x y z 2 λ = 0 )

3 . ( ∂ L ∂ z = 2 z - 2 x y 2 z λ = 0 )

4 . ( ∂ L ∂ λ = 1 - x y 2 z 2 = 0 )

Agora, podemos resolver esse sistema de equações:

A partir da equação 4, podemos isolar ( z 2 ) em termos de ( x ) e ( y ) :

[ z 2 = 1 x y 2 ]

Agora, substituímos esse valor nas equações 1, 2 e 3:

1 . ( 2 x - 1 x = 0   - > 2 x 2 - 1 = 0   - > x 2 = 1 2 )

2 . ( 2 y - 2 y = 0   - >   2 y 2 - 2 = 0   - > y 2 = 1 )

3 . ( 2 z - 1 z = 0   - >   2 z 2 - 1 = 0   - >   z 2 = 1 2 )

Agora, podemos encontrar os valores de ( x ) ,   ( y ) ,   e   ( z ) que maximizam a distância da origem ao plano tangente:

1 . ( x = ± 1 2 )

2 .   ( y   =   ± 1 )

3 . ( z = ± 1 2 )

Passo 2

Agora, podemos calcular a distância da origem a esses pontos:

Para ( x = 1 2 , y = 1 , z = 1 2 ) :

[ D 1 = 1 2 2 + 1 2 + 1 2 2 = 1 2 + 1 + 1 2 = 2 ]

Para ( x = - 1 2 , y = - 1 , z = - 1 2 ) :

[ D 2 = - 1 2 2 + - 1 2 + - 1 2 2 = 1 2 + 1 + 1 2 = 2 ]

Portanto, os planos tangentes mais distantes da origem à superfície ( x y 2 z 2 = 1 ) têm uma distância de ( D   = �� 2 ) da origem.

Resposta

2

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