Deseja-se fazer um cartaz usando uma folha de papel retangular de 2   m 2 de área. As margens no topo e na base devem medir 25   c m e nos lados, 15   c m . Determine as dimensões dessa folha, sabendo que a área impressa é máxima.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar as dimensões máximas da folha de área A = 2   m 2 , que vai ser usada pra fazer um cartaz de margens superior/inferior igual 0,25   m e lateral de 0,15   m .

Se a e b são as medidas superior/inferior e lateral da folha, então nossa área será dada por:

a b = 2

E se a ' e b ' são, respectivamente, as medidas superior/inferior e lateral da folha, considerando as margens, então temos:

a ' = a - 0,15 + 0,15 = a - 0,3

b ' = b - 0,25 + 0,25 = b - 0,5

Dessa forma, considerando as margens, nossa área será dada pelo produto de a ' por b ' . Dessa expressão, nós vamos calcular a área máxima, derivando e igualando o resultado a zero para obter o valor das dimensões.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar escrevendo a expressão da nossa área, considerando as margens:

A a = ( a - 0,3 ) ( b - 0,5 )

Como a b = 2 , temos b = 2 a . E substituindo, ficamos com:

A a = a - 0,3 2 a - 0,5

A a = - 0,5 a 2 + 2,15 a - 0,6 a

Passo 3

Derivando essa expressão, temos:

A ' a = - 0,5 a 2 + 0,6 a 2

Igualando a zero pra encontrar os pontos críticos da função:

- 0,5 a 2 + 0,6 a 2 = 0

- 0,5 a 2 + 0,6 = 0

Isolando a , temos uma das nossa dimensões:

0,5 a 2 = - 0,6

a = 6 5 ≈ 1,1

Substituindo em b = 2 a , temos:

b = 1,82

E encontramos as dimensões da nossa folha.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a = 1,1

b = 1,82

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