5. Determina valores de a , b , c , d para os quais a função f : R → R definida por

f x = a x 3 + b x 2 + c x + d

Para um ponto de máximo local em x = - 1 , um ponto de mínimo local em x = 1 , f - 1 = 2 e f 1 = 0

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Precisamos definir quais são os coeficientes da equação. Para isso vamos juntar algumas informações fornecidas pelo enunciado para montarmos o nosso grande sistema e resolver!

Passo 2

Repara que entre as informações do enunciado, eles nos diz onde temos um ponto de mínimo e máximo. Esses pontos são os chamados pontos críticos e para achar um ponto crítico temos que descobrir onde a derivada da função é zero.

Derivando ficamos com,

f ' x = 3 a x 2 + 2 b x + c

Se em x = - 1 , temos um ponto te máximo, podemos dizer que a derivada zera nesse ponto, logo,

f ' - 1 = 3 a - 1 2 + 2 b - 1 + c = 0

Logo nossa primera equação do sistema será:

3 a - 2 b + c = 0

Passo 3

Além disso também temos que x = 1 é um ponto de mínimo. Logo, seguindo o mesmo raciocinio do passo anterior, ficamos com

f ' 1 = 3 a 1 2 + 2 b 1 + c = 0

Logo nossa segunda equação do sistema será:

3 a + 2 b + c = 0

Passo 4

A próxima informação é que f - 1 = 2 . Logo,

f - 1 = a - 1 3 + b - 1 2 + c - 1 + d = 2

Logo nossa terceira equação do sistema será:

- a + b - c + d = 2

Passo 5

Por fim temos também que f 1 = 0 . Logo

f 1 = a 1 3 + b 1 2 + c 1 + d = 0

Logo nossa última equação do sistema será:

a + b + c + d = 0

Passo 6

Juntando todas as equações chegamos no seguinte sistema:

3 a - 2 b + c = 0 3 a + 2 b + c = 0 - a + b - c + d = 2 a + b + c + d = 0

Agora vamos resolver esse sistema!

Passo 7

Vamos começar substraindo as duas primeiras equações:

3 a - 2 b + c = 0 3 a + 2 b + c = 0

Ficamos com

2 b = 0

b = 0

Se b = 0 , podemos dizer também que

c = - 3 a

Passo 8

Vamos olhar, agora, para as duas ultimas equações:

- a + b - c + d = 2 a + b + c + d = 0

Mas agora sabemos que b = 0 . Logo

- a - c + d = 2 a + c + d = 0

Substraindo as duas, ficamos

- 2 a - 2 c = 2

Mas vimos também que c = - 3 a . Logo,

- 2 a - 2 - 3 a = 2

- 2 a + 6 a = 2

4 a = 2

a = 1 2

Passo 9

Agora que encontramos a , podemos encontra c . Como

c = - 3 a

c = - 3 1 2

c = - 3 2

Passo 10

Por fim, para achar d , podemos substituir os valores encontramos para os outros coeficientes em

a + b + c + d = 0

Substituindo,

1 2 + 0 + - 3 2 + d = 0

d = 1

Resposta

a = 1 2

b = 0

c = - 3 2

d = 1

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)