7.23. Determine, caso exista, a constante a para que f x = x 2 + a x tenha

b. um ponto de mínimo local em x = - 3 .

Mostre ainda que, para qualquer valor de a , a função f não terá um ponto de máximo local.

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Essa questão nos pede para obter um valor para a na função f x = x 2 + a x de modo que f x possua um mínimo local em x = - 3 e dizer por que f x não possui máximo local.

E aí, tem ideia do que fazer? 🤔

Para se obter os máximos e mínimos locais, precisamos obter os pontos críticos da função derivando f x e igualando a 0 .

E para definir se o ponto é de máximo ou mínimo, precisamos fazer o teste da segunda derivada, assim se f ' ' x > 0 , o ponto é classificado como ponto de mínimo.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Vamos começar derivando f x

f ' x = d x 2 + a x d x = 2 x - a x 2

Igualando a 0 , temos

2 x - a x 2 = 0 → 2 x = a x 2

a = 2 x 3

Para x = - 3 ser um ponto de mínimo, temos que substituir x = - 3 em a , para descobrir para qual valor de a esse quesito é satisfeito.

a = 2 - 3 3

a = - 54

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Fazendo o teste da segunda derivada, temos

f ' ' x = d 2 x - a x 2 d x = 2 + 2 a x 3

Substituindo a = - 54 e x = - 3 , temos

f ' ' - 3 = 2 + 2 - 54 - 3 3 = 6

Como f ' ' - 3 > 0 para a = - 54 , esse valor para a é valido!

Já para dizer que f x não possui máximos locais, podemos olhar para a equação de a = 2 x 3

Perceba que o sinal de a será sempre o mesmo que o sinal de x , já que a potência de x é ímpar. Dessa forma, no teste da segunda derivada, temos f ' ' x = 2 + 2 a x 3 , ou seja, se a e x tem o mesmo sinal, o termo 2 a x 3 sempre será positivo, logo, f ' ' x sempre será maior que 0 .

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

a = - 54

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)