Determine as dimensões do cilindro circular reto de maior volume possível que esteja inscrito em um cone circular reto de volume fixo.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar as dimensões máximas do cilindro reto que tá inscrito em um cone de volume fixo. Vamos supor que sejam H e R a altura e o raio fixos do cone, respectivamente. E que sejam r e h , o raio e a altura variáveis do cilindro, respectivamente.

Assim, fazendo um corte nesse cone, temos a figura abaixo:

O triângulo menor de cima é semelhante ao triângulo maior, então podemos usar as relações de semelhança de triângulo para encontrar uma expressão para o raio r do cilindro. Além disso, nós sabemos que o volume do cilindro por:

V = π r 2 h

Assim, vamos encontrar uma expressão para a área V , derivar essa expressão e igualar o resultado a zero para encontrar seus candidatos a máximo.

Vamos lá!

Passo 2

Usando a semelhança de triângulos, temos:

r R = H - h H

Isolando r , temos o raio do cilindro dado por:

r = R H ( H - h )

Passo 3

Como o volume do cilindro é V = π r 2 h , substituindo r = R H ( H - h ) , temos:

V h = π R 2 H 2 H - h 2 h

E a altura do cilindro vai de zero até a altura do cone, então essa relação é válida para 0 ≤ h ≤ H . Agora derivando a expressão que encontramos, vamos obter:

V ' ( h ) = π R 2 H 2 - 2 h H - h + H - h 2

Igualando essa derivada a zero, vamos encontrar os pontos críticos da função:

π R 2 H 2 - 2 h H - h + H - h 2 = 0

- 2 h H - h + H - h 2 = 0

Isolando a h , temos:

- 2 h + H - h = 0

- 3 h = - H → h = H 3

Passo 4

Agora vamos ver se h = H 3 é um ponto de mínimo ou de máximo. Fazemos isso usando o teste da segunda derivada. Assim, derivando V ' ( h ) = π R 2 H 2 - 2 h H - h + H - h 2 , temos:

V ' ' h = π R 2 H 2 ( 6 h - 4 H )

Substituindo h = H 3 :

V ' ' H 3 = - 2 π R 2 H

Como V ' ' H 3 < 0 , pelo teste da segunda derivada, esse é realmente um ponto de máximo da função.

Passo 5

Agora que já descobrimos a altura máxima, vamos substituir h = H 3 na expressão do raio, para encontrar o raio máximo do cilindro:

r = R H ( H - h )

r = R H H - H 3 = R H ∙ 2 H 3

r = 2 R 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

r = 2 R 3

h = H 3

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