Determine as dimensões do cone circular reto de volume mínimo que pode ser circunscrito a uma esfera de 10   c m de raio.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar as dimensões mínimas do cone circular reto que pode tá dentro de uma esfera de raio 10   c m . Em corte, seria isso aqui:

Daí, pelo teorema de Pitágoras, no triângulo retângulo que apareceu ali embaixo, temos:

h - 10 2 + r 2 = 10 2

Então, nós vamos isolar r nessa equação e substituir a expressão encontrada na fórmula do volume do cone:

V = π 3 r 2 h

Assim, vamos ter V em função de h . Para descobrir os pontos críticos dessa função, vamos derivar e igualar a zero. E usar o teste da segunda derivada para descobrir se os pontos críticos encontrados são pontos de máximo ou de mínimo.

Vamos lá!

Passo 2

Encontrando uma expressão para r na equação:

h - 10 2 + r 2 = 10 2

Temos:

h 2 - 20 h + 100 + r 2 = 100

r 2 = 20 h - h 2

Substituindo r 2 na expressão do volume, V = π 3 r 2 h , temos:

V = π 3 20 h - h 2 h

V = π 3 ( 20 h 2 - h 3 )

Passo 3

Agora vamos derivar e igualar a zero para encontrar os pontos críticos. Derivando em relação a h , temos:

V ' h = π 3 ( 20 h - 3 h 2 )

Igualando a zero:

π 3 20 h - 3 h 2 = 0

20 h - 3 h 2 = 0

h 20 - 3 h = 0

Então, pra que esse produto seja verdadeiro, temos:

h = 0

ou

20 - 3 h = 0 → h = 20 3

Esses são nossos pontos críticos.

Passo 4

Derivando mais uma vez, vamos descobrir se esses pontos são de máximo ou mínimo.

V ' ' h = π 3 ( 20 - 6 h )

Substituindo h = 0 :

V ' ' 0 = π 3 20 - 6 0 = π 3 20 = 20 π 3

E substituindo h = 20 3 :

V ' ' 20 3 = π 3 20 - 6 20 3 = π 3 20 - 40 = - 20 π 3

Como V ' ' 20 3 < 0 , temos um ponto de máximo, pelo teste da segunda derivada. E como V ' ' 0 > 0 , temos um ponto de mínimo, também pelo teste da segunda derivada. Como a questão quer saber as dimensões mínimas do cone, seria:

h = 0

E consequentemente,

r 2 = 20 0 - 0 2 → r = 0

O que é meio óbvio, porque a circunferência não limita as dimensões do cone inferiormente. Talvez a intenção da pergunta fosse saber as dimensões máximas do cone. Nesse caso, usaríamos o mesmo procedimento, só que o nosso resultado seria h = 20 3 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

r = 0 ,     h = 0

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