Determine as dimensões do paralelepípedo de volume máximo, com faces paralelas aos planos coordenados, inscrito no elipsóide 9 x 2 + 36 y 2 + 4 z 2 = 36 .

Passo 1

Para determinar as dimensões do paralelepípedo de volume máximo, com faces paralelas aos planos coordenados, inscrito no elipsóide ( 9 x 2 + 36 y 2 + 4 z 2 = 36 )

, primeiro precisamos entender a natureza do problema.

O paralelepípedo de volume máximo inscrito em uma superfície é chamado de "paralelepípedo inscrito". Para encontrar as dimensões desse paralelepípedo inscrito, precisamos maximizar seu volume V   =   ( a b c ) , sujeito à restrição do elipsóide.

A equação do elipsóide é ( 9 x 2 + 36 y 2 + 4 z 2 = 36 ) , que pode ser reescrita como:

x 2 4 + y 2 1 + z 2 9 = 1

Passo 2

Agora, queremos encontrar as dimensões a, b e c do paralelepípedo inscrito, que são os comprimentos dos semieixos do elipsóide nos eixos x, y e z, respectivamente.

Essas dimensões são proporcionais aos raios do elipsóide, portanto, podemos definir:

( a   =   2 k ) ,   ( b   =   k )   e   ( c   =   3 k ) .

Substituindo essas dimensões na equação do elipsóide, obtemos:

2 k 2 4 + k 2 1 + 3 k 2 9 = 1

Resolvendo essa equação para k:

4 k 2 4 + k 2 1 + 9 k 2 9 = 1

k 2 + k 2 + k 2 = 1

3 k 2 = 1

k 2 = 1 3

k = 1 3

Agora que encontramos o valor de k, podemos calcular as dimensões do paralelepípedo inscrito:

a = 2 1 3

b = 1 3

c = 3 1 3

Portanto, as dimensões do paralelepípedo de volume máximo, com faces paralelas aos planos coordenados, inscrito no elipsóide ( 9 x 2 + 36 y 2 + 4 z 2 = 36 ) , são:

2 1 3 , 1 3 , 3 1 3

Resposta

2 1 3 , 1 3 , 3 1 3

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