Determine as dimensões do paralelepípedo de volume máximo, com faces paralelas aos planos coordenados, de modo que uma das faces está contida no plano z = 0 e a correspondente face oposta tem os seus vértices no paraboloide z   =   4   –   x 2   -   y 2 ,   z   >   0 .

Passo 1

Por simetria, podemos considerar o problema no 1º octante. A intersecção do paraboloide com o 1º octante é B = x , y , z   ∈ R 3   z = 4 - x 2 - y 2 ,   x ≥ 0 ,   y ≥ 0   e   z ≥ 0 } B é um conjunto fechado e limitado de R 3 .

Queremos determinar P = x 0   ,   y 0 ,   z 0     ∈ B tal que o volume do paralelepípedo seja máximo, ou seja, queremos P   e   B que maximize a função V x , y , z = 4 x z y .

Passo 2

Se x , y , z ∈ B com x = 0 ou y = 0 ou z = 0 , temos que V x , y , z = 0 e, portanto, ( x , y , z ) é um ponto de mínimo de V em B . Procuramos então um ponto x , y , z   ∈ B com x ≠ 0 ,   y ≠ 0   e   z ≠ 0 , tal que V ( x , y , z ) seja máximo.

Substituindo z = 4 - x 2 - y 2 , temos

V = 4 x y ( 4 - x 2 - y 2 )

= 16 x y - 4 x 3 - 4 x y 3

Basta analisar os pontos críticos de

F x , y = 4 x y - x 3 y - x y 3

Em x , y ∈ R 2   x ≥ 0 ,   y > 0   e   x 2 + y 2 < 4 }  

∂ F x , y ∂ x = y 4 - 3 x 2 - y 2 = 0

∂ F x , y ∂ y = x 4 - 3 y 2 - x 2 = 0

As solu��ões desse sistema são 0 ,   ± 2 ,   ± 2,0 ,   0,0 ,   ± ( 1,1 ) e ± ( - 1,1 ) . Porem no conjunto considerado, apenas x , y = ( 1,1 ) satisfaz.

Passo 3

Conclusão: x = y = 1 → z = 4 - x 2 - y 2 = 2 e o paralelepípedo é o cubo 2   × 2   × 2

Resposta

paralelepípedo é o cubo 2   × 2   × 2

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