Determine as dimensões do retângulo de área máxima que pode ser inscrito em um triângulo de 36   c m de base e 12   c m de altura, estando um dos lados do retângulo sobre a base do triângulo.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar as dimensões máximas do retângulo que tá inscrito em um triângulo de 36   c m de base e 12   c m de altura, com um dos lados do retângulo sobre a base do triângulo. Então, vamos imaginar que seja isso aqui:

O triângulo menor de cima é semelhante ao triângulo maior, então podemos usar as relações de semelhança de triângulo para encontrar uma expressão para a largura do retângulo w . Além disso, nós sabemos que a área do retângulo é dada pelo produto da largura e da altura:

A = w h

Assim, vamos encontrar uma expressão para a área A , derivar essa expressão e igualar o resultado a zero para encontrar seus candidatos a máximo.

Vamos lá!

Passo 2

Usando a semelhança de triângulos, temos:

w 36 = 12 - h 4

Isolando w , temos a largura do retângulo dada por:

w = 9 ( 12 - h )

Passo 3

Como a área do retângulo é A = w h , substituindo w = 9 ( 12 - h ) , temos:

A = 9 h ( 12 - h )

A = 108 h - 9 h 2

Derivando essa expressão, vamos obter:

A ' = 108 - 18 h

Agora vamos igualar a zero para encontrar os pontos críticos:

108 - 18 h = 0

108 = 18 h → h = 108 18

h = 6

Como a segunda derivada de A é A ' ' h = - 18 , que é sempre negativa, pelo teste da segunda derivada, h = 6 é um ponto de máximo da função.

Passo 4

Como já temos a altura máxima do retângulo, substituindo h = 6 na expressão da largura do passo 2 , temos:

w = 9 ( 12 - h )

w = 9 12 - 6

w = 54

Então, as dimensões máximas do retângulo são w = 54 e h = 6 e sua área máxima será A = 324 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

h = 6

w = 54

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