Determine a equação do plano que passa por (2, 2, 1) e que delimita no primeiro octante o tetraedro de menor volume.

Passo 1

Beleza meu amigo? Yuri aqui e agora vamos encontrar a equação de um plano que delimite um tetraedro e de menor volume possível passando pelos pontos dados.

Sabemos que a equação de um plano pode ser dada por

π     : a x + b y + c z = 1

E para acharmos os pontos de intersecção, podemos zerar os valores de x , y , z ,

y = z = 0

x = 1 a

y = 1 b

z = 1 c

Sujeita a

2,2 , 1 ∈ π

Portanto

2 a + 2 b + c = 1

E sabemos que o volume é dado por

v = A b ∙ h 3 = x y z 6

Queremos minimizar a função

v a , b , c = 1 6 a b c

E não podemos esquecer que o domínio de V é

A = a , b , c ∈ R   : a > 0 ,   b > 0 ,   c > 0

Passo 2

Para realizar o que precisamos iremos utilizar os multiplicadores de Lagrange, onde

g a , b , c = 2 a + 2 b + c

E

∇ f a , b , c = 6 b c , a c , a b

Então

∇ g a , b , c = 2,2 , 1

Os nossos candidatos são

∇ f , ∇ g   L D 2 a + 2 b + c = 1

E

b c = a c = 2 a b

Como

b c = a c → a = b

b c = 2 a b → 2 a = c

Então

2 a + 2 a + 2 a = 1

a = 1 6

b = 1 6

c = 1 3

Sendo assim o nosso único candidato possível é

p = 1 6 , 1 6 , 1 3

Que corresponde ao plano

π   : x 6 + y 6 + z 3 = 1

E neste caso v = 18

Resposta

18

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)