a) Determine os extremos absolutos da função f x = 4 x 3 - 6 x 2 - 1 no intervalo - 1 ,   2 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente encontrar os valores extremos da função f x = 4 x 3 - 6 x 2 - 1 no um intervalo fechado [ - 1 ,   2 ] .

Existe um teorema (teorema de Weierstrass) que nos diz que uma função contínua necessariamente tem valores mínimo e máximo absolutos em um intervalo fechado. Esses valores extremos são pontos máximos ou mínimos relativos dentro do intervalo, ou pontos na extremidade do intervalo.

Para encontrar esses valores absolutos, vamos derivar a função f ( x ) , os candidatos a extremos são os pontos que anulam a derivada ou os extremos do intervalo. Aí basta compararmos os valores da função nesses pontos, o maior será o máximo absoluto e o menor o mínimo absoluto.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando f x = 4 x 3 - 6 x 2 - 1 :

f ' x = 12 x 2 - 12 x

Colocando 12 x em evidência:

f ' x = 12 x ( x - 1 )

Então, nossos pontos críticos acontecem quando 12 x = 0 ou x - 1 = 0 . Daí temos,

x = 0   o u   x = 1

Além disso, nos extremos do nosso intervalo, temos x = - 1 e x = 2 .

Passo 3

Vamos analisar agora os valores da função nos candidatos a extremos.

f 0 = 4 ( 0 ) 3 - 6 0 2 - 1 = - 1

f 1 = 4 ( 1 ) 3 - 6 1 2 - 1 = - 3

f - 1 = 4 ( - 1 ) 3 - 6 - 1 2 - 1 = - 11

f 2 = 4 ( 2 ) 3 - 6 2 2 - 1 = 7

De acordo com esses valores, nosso máximo ocorre no ponto ( 2 ,   7 ) e o nosso mínimo no ponto ( - 1 ,   - 11 ) , e temos nossos extremos absolutos no intervalo.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

2 ,   7 → m á x i m o   a b s o l u t o

- 1 ,   - 11 → m í n i m o   a b s o l u t o

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)