Determine o maior produto de 3 números reais positivos cuja soma é 100. Exiba tais números.

Passo 1

A partir do enunciado conseguimos montar duas equações

P x , y , z = x y z

E

x + y + z = 100

Em que

z = 100 - x - y

Assim temos

f x , y , z =   x y 100 - x + y = 100 x y - x 2 y - x y 2

As derivadas parciais são

f x = 100 y - 2 x y - y 2 = 0

f y = 100 x - x 2 - 2 x y = 0

Passo 2

Agora temos esse belo sistema que não é linear. Então vamos manipular para encontrar uma resolução

100 y - 2 x y - y 2 = 0

100 - 2 x y = y 2

E isso nos dá valores y = 0 ou y = 100 - 2 x . Como y = 0 isso zeraria o produto, então não vamos utilizar.

Agora basta pegar y = 100 - 2 x na segunda equação

100 x - x 2 - 2 x 100 - 2 x = 0

x 3 x - 100 = 0

E novamente iremos descartar x = 0 e ficaremos com

x = 10 3

Z então é dado por

z = 100 - 100 3 + 100 3 = 300 - 100 - 100 3

z = 100 3

Então o ponto crítico é

100 3 , 100 3 , 100 3

E o produto dos 3 números é 1000000 27

Resposta

1000000 27

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