Determine os máximos e mínimos absolutos da função f ( x ,   y )   =   x y 2   na

região limitada pela curva x 4   +   y 4   =   3 .

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo . Dessa vez uma envolvendo multiplicadores de Lagrange.

Nosso objetivo é determinar os máximos e mínimos absolutos da função f ( x ,   y )   =   x y 2   na

região limitada pela curva x 4   +   y 4   =   3 .

então, vamos revisar o método

Para isso, precisamos calcular o gradiente de duas funções f ( x , y ) e da g ( x , y ) (nossa restrição). E depois resolvemos o sistema

∇ f = λ ∇ g

g ( x , y ) = k

no nosso caso,

f ( x ,   y )   =   x y 2  

g ( x , y ) = x 4   +   y 4 = 3

Passo 2

Agora que revisamos o método, vamos calcular os gradientes

∇ f = ( y 2 , 2 x y )

∇ g   =   ( 4 x 3 , 4 y 3 )

Logo ∇ f = λ ∇ g , se e somente se,

y 2 = λ 4 x 3

2 x y = λ 4 y 3

x 4   +   y 4 = 3

Resolvendo esse sistema, obtemos as seguintes soluções (uma dica para resolver o sistema é dividir as duas primeiras equações uma pela outra e substituir na terceira)

( x , y ) = ( 1 , 2 4 )

( x , y ) = ( - 1 , - 2 4 )

( x , y ) = ( - 1 , 2 4 )

( x , y ) = ( 1 , - 2 4 )

( x , y ) = ( 3 4 , 0 )

( x , y ) = ( - 3 4 , 0 )

Agora só precisamos verificar para quais desses pares ordenados a nossa função f ( x ,   y )   =   x y 2  

assume máximo e mínimo.

Após fazer as substituições, podemos ver que o mínimo ocorre em

( x , y ) = ( - 1 , - 2 4 )

e

( x , y ) = ( - 1 , 2 4 )

que é igual a - 2

e o máximo ocorre em

( x , y ) = ( 1 , - 2 4 )

e

( x , y ) = ( 1 , 2 4 )

que é igual a 2

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

- 2   e   2

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