Determine os máximos e mı́nimos de f   ( x ,   y )   =   y ³   − x ³   − 3 x y na região definida no conjunto

R   =   { ( x ,   y )   ∈   ℜ ²   :   y   =   1 ,   y   =   x ²   ,   x   ≥   0 } .

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente determinar os máximos e mínimos de uma função de duas variáveis em uma região R do plano xy, definida pelas curvas y   = 1 , y = x ² , para x ≥ 0 . A figura abaixo ilustra essas curvas em vermelho, verde e preto, respectivamente, delimitando a região R do plano onde queremos determinar os máximos e mínimos.

Bem, a gente sabe que, em pontos de extremo de uma função, suas derivadas são nulas. Então calcular as derivadas parciais da função é crucial para a determinação dos extremos. No entanto, em uma região fechada e limitada, a função pode ter seus extremos nos limites da região. Nesse caso, a gente também precisa verificar a função nos limites da região R e comparar com os extremos obtidos através da derivação. Então, primeiro vamos lá calcular as derivadas parciais da função!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de f em relação a x. Para calcular essa derivada parcial, consideramos a variável y como constante. Assim, obtemos

∂ f ∂ x = - 3 x ² - 3 y

Em um ponto de extremo, a derivada deve ser nula. Então, dessa derivada parcial obtemos

- x ² - y = 0 ⇒ - x ² = y

Semelhantemente, calculando a derivada de f em relação à y, mantendo x constante, obtemos

∂ f ∂ y = 3 y ² - 3 x

Novamente, em um ponto de extremo, a derivada deve ser nula. Então, dessa derivada parcial obtemos

y ² - x = 0 ⇒ y ² = x

Juntando as duas equações, obtemos que

- y ⁴ = y

Essa equação possui soluções y = 0 e y = -1, que corresponde então aos pontos (0,0) e (1,-1) do plano xy. Contudo onde apenas o ponto (0,0) pertence à região R. Nesse ponto a função é nula: f(0,0) = 0. Agora precisamos verificar os valores da função nas bordas do intervalo para ver se existem valores menores ou maiores que f(0,0). Então vamos lá!

Passo 3

Primeiro, vamos começar com a borda representada pelo segmento d reta y = 1, 0 ≤ x ≤ 1 (curva vermelha na figura). A interseção do plano y = 1 com a função f(x,y) é a curva

f ( x , 1 ) =   1 - x ³ - 3 x

Que é uma função que possui valor máximo em x = 0, quando ela assume o valor igual à 1 e possui seu valor mínimo em x = 1, quando ela vale -3. Ok, vamos guardar esses valores e prosseguir para a próxima curva da região R: x = 0, 0 ≤ y ≤ 1 (curva preta na figura). A interseção do plano x = 0 com a função f(x,y) é dada pela função

f ( 0 , y ) =   y ³

Como y está sempre entre 0 e 1, os valores máximos e mínimos que essa função assume são, respectivamente, 1 e 0. Vamos guardar também esses valores em mente e seguir para a última curva da região R: y = x ² (curva verde na figura). A interseção dessa superfície com a função f(x,y) define a função

f ( x ) = x ⁶ - x ³ - 3 x ³ = x ⁶ - 4 x ³

Como x está sempre entre 0 e 1, temos que os valores máximo e mínimo dessa função são, respectivamente, 0 e -3.

Então, temos que, de todos os valores que obtivemos, o menor é -3 (que ocorre quando x = 1 e, consequentemente, y = 1) e que o maior valor, que é igual a 1, ocorre quando x = 0 e y = 1.

Como -3 é menor que 0 (valor obtido da função em um ponto com derivada nula) e como 1 é maior que o valor obtido através da derivada nula, temos que os pontos de máximo e mínimo a função se encontram na borda do intervalo, nos pontos (0,1) e (1,1), respectivamente, com valores 1 e -3, e não no ponto de extremização da função.

Resposta

Máximo = 1, em (0,1)

Mínimo = -3, em (1,1)

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