Determine os máximos e mínimos das seguintes funções

(c) f x = s e n   x + cos ⁡ x e m   [ 0 , π ]

Passo 1

Para determinar os máximos e mínimos da função f x = s i n   x + cos ⁡ x no intervalo 0 , π , podemos seguir os seguintes passos:

Encontre os pontos críticos da função, que ocorrem quando a derivada é zero ou não existe dentro do intervalo 0 , π .

Avalie os valores da função nos pontos críticos, nas extremidades do intervalo e em quaisquer pontos onde a derivada mude de sinal para determinar os máximos e mínimos.

Vamos começar com o primeiro passo:

Calcule a derivada da função f ( x ) em relação a x

f ' x = d d x s i n   x + cos ⁡ x

f ' x = cos ⁡ ( x ) - sin ⁡ ( x )

Igualando a derivada a zero e resolvendo para x :

cos ⁡ x - sin ⁡ x = 0

cos ⁡ ( x ) = sin ⁡ ( x )

tan ⁡ ( x ) = 1

O ponto crítico é x = π / 4 ,   que está dentro do intervalo [ 0 , π ]

Passo 2

Avalie a função nos pontos críticos, nas extremidades do intervalo e onde a derivada muda de sinal:

Avaliando nos pontos críticos:

f π 4 = sin ⁡ π 4 + cos ⁡ π 4

f π 4 = 2 2 + 2 2 = 2  

Avaliando nas extremidades do intervalo:

f 0 = sin ⁡ 0 + cos ⁡ 0

f 0 = 0 + 1 = 1

f π = sin ⁡ π + cos ⁡ π

f 0 = 0 - 1 = - 1

Agora, compare os valores das avaliações para determinar os máximos e mínimos:

O valor mínimo ocorre em x = π com f π = - 1

O valor máximo ocorre em x = π / 4 com f π / 4 = 2

Resposta

Portanto, a função f x = sin ⁡ x + cos ⁡ x possui um mínimo local de - 1 no ponto x = π e um máximo local de 2 no ponto x = π / 4 no intervalo [ 0 , π ] .

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)